PROCESOS ESTOCASTICOS

CLASE _19.PROCESOS ESTOCASTICOS

CALCULO ESTOCASTICO

Esperanza Condicional:

Es el valor esperado E (X/.F) de una variable aleatoria dado la sigma algebra

Sea Q un conjunto arbitrario y sean F, Y dos sigmas algebras definidas sobre

Q y sean X , Y dos variables aletorias de (2.

Propiedades:

DD. E(aX+0Y/F) =aE(X/P)4+dE(Y/F) con a , b constantes.

2D) ELEXIFP)=E(X)

3). E(X/P)=X con X variable aleatoria F-medible.

4). E(ZX/F) = ZE(X/F) con Z variable aleatoria F-medible y

acotada.

5). E(E(X/F)/9)=E(X/9) si 0cF

6). E(X/P)=E(X) con X variable aleatoria independiente de F.

Proposición: Sea X¿ con t > O un proceso estocástico y sea ( un conjunto

arbitrario tal que F¿ € Q siendo F, la sigma-algebra generada por X¿ , es decir

F, contiene toda la información de X, hasta el tiempo t.(F¿ contiene todos los

valores pasados y presentes de X+ hasta el tiempo £).La region de plano X, vs £

se divide en la region medible que va hasta el tiempo t y la region independiente

que es donde las variables aleatorias del proceso estan en un tiempo mayor a £.

Ejerciciol: Suponga que X1, X2, X3,.., XA; ... son variables aleatorias inde-

pendientes e identicamente distribuidas con p =0y E (x2) = 0?. Se denota

la sucesión de sumas parciales como Sy = XA 1 + XA2+ X3+...4+XAn

y F,, representa la información de las variables aleatorias X1, X2, X3,....., An—1, Xn-

Calcule la esperanza condicional E (S2/ Fo) con m< an,

solución:

S2= (Sa — Sin + Sm) Sn — Sm — region independiente

32 = (Sa — Sm + Sm)? =( Sa — Sm)? + 28m (Sa — Sm) + 82,

Sa Sm = (UTA 4 AX HA A A Al e A E A)

(XXX 1 + 7)

Sn => Sm = Xm+l He. +Xn-1 + Xn

(Sn — Sm) > Art Eee M1 + xo + 2X m+1Am42 + 2Xm41Am43 +

.. +2X2-1Xnm

E (S2/F,n) = E (( Sa — Sm)? + 28m (Sn — Sin) + S2,] Fm)

E (S2/F,n) =E (( Sn — Sm)” IF) +2 (Sm (Sn — Sm) / Fin) +E (S?,/ Fon)

ESF) =E (XA de HA M4 2 m1 A m9 + 2 m1 A m43 Eo + 2X 2 1 Xp) +

ES Fm) = EX ñag1) + o HE (AG 1) + E (X5) + 2E (Xim41Xm42) +

E (Xm+r1Xm+3) + F2E (Xo-1 Am) +28 [E (Xm+r1) + + +E(Xp-1) + E (X,)]+

2

E (SF) = 04.40 40 7+42E (Xi) E (Xm+2) HE (Xim41) E (Xm+3)+

LB (Xp 1) E (Xp) + 287 [0+... +0+0] +82,

El(S/Fa) =0+..+0%+0 + 2(0)(0) + 2(0)(0) +... + 2(0)(0) +

285 (04... +0+0] +82,

E(S/F,) =(n —-m)o? + 8?,

Ejercicio2: Suponga que X1, X2, X3,.., XA; ... son variables aleatorias inde-

pendientes e identicamente distribuidas con p =0y E (x2) = 0?. Se denota

la sucesión de sumas parciales como Sy

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