Procesos Estocasticos

Resumen

En el siguiente documento se muestran algunos ejercicios que se realizaron para poder observar y determinar el funcionamiento de algunos modelos probabilísticos, así como sus distribuciones.

Lo que nos permitió y permitirá poder escoger en futuros experimentos el mejor método y distribución para el planteamiento y solución de problemas referente a procesos estocásticos.

Algunas de las distribuciones que se investigaron fueron; distribución binominal, distribución de Poisson, distribución normal, distribución uniforme, distribución de Rayleigh y distribución de Cauchy.

Ya al haber realizado la investigación de las distribuciones, se emplearon algunos ejercicios para ejemplificar el funcionamiento y las propiedades de dichas distribuciones. Antes realizando métodos de dichas distribuciones en el programa Matlab lo que permitiría facilitar y comparar los resultados de dichos ejercicios

Realizando sólo ejercicios de la distribución binominal, distribución normal y de la distribución de Poisson, ya que estas son las distribuciones más usuales.

Se observó que las distribuciones, tanto la binominal como la de Poisson se basan en el experimento de Bernoulli nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1-p).

Marco Teórico

Procesos Estocásticos

Un proceso estocástico es una colección o familia de variables {Xt, con t ∈ T}, ordenadas según el subíndice t que en general se suele identificar con el tiempo. A los posibles valores que puede tomar la variable y el tiempo se le denominan estados.

Estado Discreto

Una secuencia de variables que indique el valor del proceso en instantes sucesivos.

{X0 = x0, X1 = x1,..., Xn−1 = xn−1, Xn = xn}

Estado Continúo

Una realización parcial de un proceso estocástico de una sucesión de valores de una variable obtenidos de manera secuencial durante el tiempo.

{Xt}, con t ∈ Θ

Variables

Variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo.

Discretas

Diremos que una variable es discreta cuando toma un número de valores finitos, o infinito numerable. La distribución suele definirse mediante la función de probabilidad o la de distribución.

Continuas

Diremos que una variable es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo: peso, tiempo de duración de un evento, etc.

Aleatorias

Diremos que una variable es aleatoria cuando toda función asocie a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Determinística

Diremos que una variable es determinística cuando sus valores posibles son predecibles.

Distribución de probabilidad

Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria

Binomial

Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

P(x=k)=n!/k!(n-k)!*p^k q^(n-k)

Poisson

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo.

P(x;)=(e^(-t) 〖(t)〗^x)/x!

Normal

Permite describir fundamentos estadísticos donde los valores más cercanos se agrupan en torno a un central y los valores más externos son escasos.

Z=(x-μ)/σ

Bernoulli

Es un modelo discreto en el que se toma en cuenta la probabilidad de éxito y la de fracaso.

Condicional

Cuando la probabilidad de un suceso dependa de otro.

Uniforme

Discreta: Asume un numero finito de valores con la misma probabilidad.

Continua: Todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables.

Cauchy

Se tiene la distribución de una variable aleatoria que es la relación entre dos variables aleatorias normales estándar independientes. Esto tiene la función de densidad de probabilidad.

Rayleigh

Es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensional (por ejemplo, el que representa la velocidad del viento) tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal.

Objetivos

Generales

1.-Observar el comportamiento de las distribuciones probabilísticas.

2.-Ejemplificar las distribuciones probabilísticas.

Particulares

1.-Determinar qué características deben de tener el experimento para especificar la distribución lo que arrojara el método para obtener las probabilidades de los eventos.

2.-Aplicar conocimientos previos en el programa Matlab para generar funciones que permitan obtener la probabilidad dependiendo de la distribución que se obtenga.

Material

Software Matlab

Libros de Probabilidad y Estadística

Notas

Calculadora

Desarrollo (Ejercicios)

1.- La variable aleatoria X:

Toma valor 0 cuando (sss)

Toma valor 1 cuando (ssc) (scs) (css)

Toma valor 2 cuando (ccs) (csc) (scc)

Toma valor 3 cuando (ccc)

¿Cuál será la P[x≤2]?

¿Cuál será la P[1≤x≤2]

2.-Dada la siguiente tabla de probabilidades determine:

X1 0 1 2

P(x=xi) 1/4 1/2 ¼

P(x(-∞, 1)) =

P(x(0.5, 2)) =

P(x(0.5, 2]) =

3.-Texas Instruments ha elaborado 7000 chips. 2000 de estos tiene algún defecto. Honda compra 3000 de estos en alarmas de carros

X=xi 0 1 2

P(x=xi) 2000/7000 4000/7000 1000/7000

Calcular:

P[1≤x≤2]

P[x(-∞,1)]

P[x(0.5,2]]

µ

Vx

S

4.-En base a la función declarada por:

X=xi 1 2 3 4 5 6 7 8

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