Proceso Estocastico

Introducción

Las características de un fenómeno aleatorio pueden ser descritas a través de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria que representa el fenómeno. En la teoría de probabilidad, las propiedades estadísticas de un fenómeno aleatorio que ocurre de manera aleatoria respecto al tiempo o al espacio no son considerados. En procesos estocásticos un proceso de renovación es una sucesión infinita de variables aleatorias T1, T2,. . . que son no negativas, independientes e idénticamente distribuidas. Dichos procesos son sucesiones aleatorias en tiempos continuos. Existe una definición general Definición donde nos describe que un Proceso de Renovación es el proceso de conteo para el cual los tiempos entre los eventos exitosos son independientes e idénticamente distribuidos, con distribución arbitraria.

Teoría de La Renovación.

Un proceso de renovación es una sucesión infinita de variables aleatorias T1, T2,. . . que son no negativas, independientes e idénticamente distribuidas.

Dado un proceso de renovación {T1, T2,. . .}, se definen los tiempos reales de renovación como W0 = 0 y Wn = T1+• • •+Tn, para n ≥ 1. El proceso de conteo de renovaciones es Nt = máx {n ≥ 0: Wn ≤ t}, para cada t ≥ 0.

La variable aleatoria Wn representa el tiempo real en el que se realiza la n-ésima renovación, mientras que Nt indica el número de renovaciones realizadas hasta el tiempo t. En la literatura se le denomina proceso de renovación a cualquiera de los procesos {Tn : n = 1, 2, . . .}, {Wn : n = 0, 1, . . .}, o {Nt : t ≥ 0}, pues por construcción existe una correspondencia biunívoca entre cualesquiera dos de estos tres procesos.

Proceso Transitorio

Se dice que el proceso markoviano tiene probabilidades de transición estacionarias o que es homogéneo en el tiempo si P(x, t0;E,t) depende solo de la diferencia t – t0.

Probabilidades de transición. Para una cadena de Markov a tiempo continuo las probabilidades de transición son los números pij (t) = P(Xt = j |X0 = i), para cualesquiera estados i y j, y para cualquier tiempo t ≥ 0. Cuando el espacio de estados es finito, los elementos de cada renglón de esta matriz suman uno, pero para espacios de estados infinito esta suma puede ser estrictamente menor a uno, es decir, en general, Pj pij (t) ≤ 1.

Esta es una diferencia inesperada respecto del modelo a tiempo discreto.

Intentar encontrar Pij(t) para cada par de estados i y j, y para cada t ≥ 0, es un problema demasiado general, y solo en algunos casos es posible encontrar explícitamente tales probabilidades. El siguiente resultado nos permitiría obtener algunas conclusiones generales acerca de Pij(t).

Distribución para procesos de Renovación

Debemos recordad que el numero de renovaciones en un tiempo t es mayor o igual a n si y solo si la enésima renovación ocurre en o antes del tiempo t, para así obtener la distribución de un proceso de renovación.

Límite para Proceso de Renovación

• Definición GeneralUn Proceso de Renovación es el proceso de conteo para el cual los tiempos entre los eventos exitosos son independientes e idénticamente distribuidos, con distribución arbitraria.

• 3. NotaciónSea {N(t), t ≥ 0} el proceso de conteo.Xn denota el tiempo entre (n-1) y el enésimo evento de un proceso, donde n ≥ 1.

• 4. Definición FormalSi una sucesión de variables aleatorias no negativas {X1, X2,…} es independiente y está idénticamente distribuida entonces {N(t), t ≥ 0} es un proceso de renovación.

• 5. EjemploSuponer que tenemos una cantidad infinita de bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t.

• 6. Para un Proceso de Renovación teniendo tiempos entre llegadas X1, X2,…, sea S0 = 0 Sn =será la suma de n variables aleatorias independientes

• 7. EjemploSuponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.

• 8. X1X3X2xxx 0 S1 S2 S3

Generalización de los Procesos de Renovación.

Es una generalización del Proceso de Poisson. Esencialmente, el proceso de Poisson es un proceso de Markov del continuo-tiempo en los números enteros positivos (que empiezan generalmente cero) que tiene la independiente distribuyó idénticamente llevar a cabo épocas en cada número entero i (exponencial distribuido) antes de avanzar (con la probabilidad 1) al número entero siguiente: i + 1. En el mismo alcohol informal, podemos definir un proceso de la renovación para ser la misma cosa, salvo que los tiempos que sostienen adquieren una distribución más general. (Nota sin embargo que IID la característica de los tiempos que sostienen se conserva).

Procesos De Ramificación En Tiempo Continuo

En teoría de las probabilidades, a continuo-tiempo Proceso de Markov es a proceso estocástico { X(t): t ≥ 0} que satisface Característica de Markov y los valores de las tomas de un sistema llamaron espacio del estado. La característica de Markov indica eso en cualquier vez s > t > 0, el condicional distribución de la probabilidad del proceso en el tiempo s dado la historia entera del proceso hasta y de incluir tiempo t, depende solamente del estado del proceso en el tiempo t. En efecto, el estado del proceso en el tiempo s es condicional independiente de la historia del proceso antes tiempo t, dado el estado del proceso en tiempo t.

Fenómenos de Espera.

Las líneas de espera son fenómenos muy comunes y que se observan en diversas actividades: la gente que va a un banco a cambiar un cheque, los clientes que van a pagar la mercancía que han comprado, las órdenes que llegan para ser procesadas a través de deferentes procesos, los conductores que llegan a una estación de servicio para tanguear sus autos, etc.

Para que exista una cola sólo se requiere que las llegadas y/o los servicios ocurran a intervalos irregulares.

El proceso básico que se asume al formular un modelo de colas es el siguiente: Las unidades que requieren servicio llegan al sistema. Estas unidades entran al sistema y se unen a la "cola". En ciertos puntos en el tiempo, un elemento de la cola es seleccionado para recibir servicio, mediante alguna regla conocida como "la disciplina de la cola".

...