Formulas actuariales Procesos Estocásticos Tarea # 1

Procesos Estocásticos Tarea # 1

1. Considerar el proceso estocástico P(t) definido en la siguiente manera. Existe un flujo de eventos de Poisson con la intensidad λ = const. La condición inicial para P(t) es igual a    cero, P(0) = 0. Luego, en los momentos ti de llegada de eventos del flujo de  Poisson, el  valor de P(t) se asigna como un valor realizado de una variable aleatoria Gaussiana Ui  con   la esperanza E(Ui) = m y la varianza Var(Ui) = D para todos i=1,2…, mientras se mantiene constante entre los momentos de llegada de eventos del flujo Poisson. Todas variables aleatorias Ui, i=1,2…,   son independientes.

Determinar:

1. Valores de la esperanza del proceso, E(P(t));
2. Valores de la covarianza del proceso,  KP(t1,t2);
3. Valores del segundo momento inicial del proceso,  ΓP(t1,t2);
4. Formula de la función de densidad unidimensional del proceso,  fP(x,t);

Determinar:

1. Si el proceso P(t) es continuo en promedio  cuadrático;
2. Si el proceso P(t) es diferenciable en promedio  cuadrático;
3. Si el proceso P(t) es integrable en promedio  cuadrático;

1. Considerar el proceso estocástico X(t) = at2 + bt +c, donde a, b, c son variables aleatorias independientes con las esperanzas ma, mb, mc y las varianzas Da, Db, Dc, respectivamente. Determinar si el proceso X(t) es diferenciable en promedio cuadrático. Calcular los valores de la esperanza, la covarianza y la varianza de su derivada en promedio cuadrático. Mostrar que los valores obtenidos coinciden con la esperanza, la covarianza y la  varianza  del  proceso 2at + b.

1. Considerar el proceso estocástico Z(t) = k, donde k es una variable aleatoria con la esperanza mk y la varianza Dk. Determinar si el proceso Z(t) es integrable en promedio cuadrático. Calcular los valores de la esperanza, la covarianza y la varianza de la integral en promedio cuadrático ∫0 t t2Z(s) ds. Mostrar que los valores obtenidos coinciden con la esperanza, la covarianza y la varianza del proceso  kt3.

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