Examen De Procuro Fes Aragon

Aplicaciones de las Series de Fourier: 2 Redes de Computadoras

Estudio de la distorsión introducida por el medio físico en la transmisión de una señal digital.

Objetivos

El análisis de Fourier es un concepto básico para entender algunos de los efectos que se producen en la transmisión de datos a través de un medio físico, como por

Ejemplo distintos tipos de cables. En esta práctica se pretende que el alumno entienda el cálculo de la descomposición de una señal digital mediante series de Fourier, y sea capaz de interpretar los efectos que ejerce el medio sobre esa misma señal. Para ello realizaremos el estudio de esta señal digital en el dominio de la frecuencia mediante el análisis de Fourier.

Descripción Teórica

Durante la transmisión de información a través de un medio físico se producen una serie de fenómenos de atenuación, ruido, etc. que distorsionan la misma. Algunos de estos fenómenos pueden ser estudiados perfectamente desde la observación de la evolución de la señal en el tiempo, sin embargo, otros efectos se estudian mejor desde el análisis de la señal en el domino de la frecuencia. Para poder realizar esta interpretación frecuencia de la señal transmitida vamos a utilizar una herramienta matemática que se denomina análisis de Fourier.

Introducción Teórica

A continuación se explican brevemente los fundamentos teóricos de la descomposición en series de Fourier, se remite al El análisis de Fourier se basa en el hecho, demostrado por Fourier, de que toda señal periódica s(t) con periodo T (s(t)=s(t+T)) y frecuencia f=1/T, puede descomponerse en una suma infinita de senos y cosenos de la forma siguiente:

Donde

En la fórmula (1), f es la inversa del periodo de la señal y la denominamos frecuencia

Fundamental de la señal s(t). Por otra parte, a0 es una constante a la que llamaremos Componente de continua de s(t), y que se calcula usando (2). El resto de términos de (1) lo forman los infinitos componentes del sumatorio, que se Denominan armónicos o componentes armónicas de s(t). Estos armónicos son los que Nos permiten el estudio en frecuencia de dicha señal periódica. De esta manera, el armónico n-ésimo de la señal s(t) viene determinado por

Con relación a (5), si nf=1, entonces cos(2πt) + sen(2πt) se corresponde con la suma de un seno y un coseno puro de periodo 1 (la multiplicación de la variable t por 2π se usa para cambiar el periodo de las sinusoidales de 2π a 1). De esta forma, dentro de (5), los coeficientes nf definen la frecuencia de las sinusoidales. Por tanto, decimos que la frecuencia del armónico n-ésimo es f nf n=

Por último, la amplitud de cada sinusoidal de un armónico n viene marcada por los términos an y bn. Estos coeficientes ponderan la contribución de la frecuencia de este armónico en la señal original s(t), y se calculan por medio de las expresiones (3) y (4).

La potencia o amplitud de un armónico n se calcula como:

La representación gráfica en la que se representa la amplitud de cada armónico de la señal periódica situado en su frecuencia correspondiente se conoce como espectro de frecuencias de s(t). Más tarde veremos ejemplos de este tipo de representación.

Estudio de la influencia del medio físico en la transmisión de una señal

Al utilizar un cable para transmitir una señal, la propia señal que se transmite resulta inevitablemente atenuada. Sin embargo, un cable no atenúa a todos los armónicos de manera uniforme, sino que actúa como filtro paso bajo, de forma que los armónicos de menor frecuencia pasan por él sin problema, pero los de frecuencia más alta resultan atenuados o totalmente filtrados. De manera teórica, vamos a considerar que un cable deja pasar todos los armónicos hasta una determinada frecuencia de corte fc, y que a partir de esa frecuencia el resto de armónicos se atenúan completamente. Esta suposición no es del todo realista, ya que la transición de la banda de paso del filtro a la banda de corte se realiza siempre de manera progresiva. Por otra parte, la banda de paso del medio físico (en nuestro caso, de 0 a fc) va a definir lo que conocemos como el ancho de banda (bandwidth, BW) de ese medio.

Se puede demostrar que una señal digital está compuesta por infinitos armónicos, y que no existe una frecuencia a partir de la que todos los armónicos sean cero. Esto implica que para transmitir una señal digital con total precisión necesitaríamos un medio físico con un ancho de banda infinito.

Desafortunadamente, no existe ningún medio físico con ese comportamiento, lo que de manera práctica implica que al transmitir una señal digital, no todos sus armónicos llegarán al destino.

Al llegar un número limitado de armónicos (k) al destino, el receptor recibirá una versión distorsionada de la señal original. Resulta lógico pensar que cuantos más armónicos puedan atravesar el canal, mayor será la calidad de la señal recibida en el destino. Sin embargo, debemos destacar que los primeros armónicos transmiten la mayor parte de la potencia de una señal, y que es fundamental que éstos atraviesen el canal de comunicación. El resto de armónicos ayudan a definir mejor la señal, pero hay que tener en cuenta que lo importante es que lleguen el número suficiente de armónicos para que el dispositivo receptor sea capaz de reconocer y reconstruir la señal transmitida.

Más adelante, en esta práctica, veremos que el ancho de banda del medio no es el único factor que determina cuantos armónicos pasan el canal y llegan al destino, sino que también influye la velocidad de transmisión de los datos. También veremos gráficamente cómo es la señal que se recibe después de atravesar el cable.

Cálculo de la serie de Fourier de un carácter ASCII (byte) que se repite

Periódicamente Para esta práctica vamos a suponer que deseamos transmitir continuamente un mismo byte, y que utilizamos una representación NRZ del mismo, en la que un nivel bajo de la señal indica un valor lógico de 0, y un nivel alto de la señal indica un valor lógico de 1.

Si llamamos T al periodo del byte, podemos definir formalmente la señal a transmitir

s(t) como:

donde bit(i) son unas constantes que definen el valor del bit i-ésimo del byte a transmitir. Si la señal a transmitir no fuera periódica, no podríamos realizar este cálculo mediante series de Fourier, si no que deberíamos de aplicar la transformada de Fourier. El estudio de esta transformada es algo que queda fuera del alcance de este curso. En este punto vamos a realizar el cálculo de los términos a0,

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