FUNCION CRESIENTE Y FUNCON DECRESIENTE

5.3.- FUNCION CRESIENTE Y FUNCON DECRESIENTE

La pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación

M=tan [pic 1]

L a primer derivada de una función  (y’) es igual a la pendiente de cualquier recta tangente a la curva que representa a dicha función

Y’= m T

Si α es un ángulo agudo (< 90°), la pendiente, y por lo tanto y ‘será negativa, esto, es, <0.

        GRAFICA!!

Verifica si las funciones dadas a continuación son crecientes o decrecientes en los valores indicados de X.  

1.- y= –3x+1                               a) x= 1                              b) x= 2                            c) x= y’ = 2x-3         [pic 2]

a) En x = 1                             y’(1)=2(1)-3=2-3=-1                    ES DECRECIENTE

b) En x = 2                            Y’(2)=2(2)-3=4-3=1                      ES CRECIENTE

c) En x =                              Y’(3/2)=  2 (3⁄2)-3=3-3=0            NO ES CRECIENTE NI DECRECIENTE [pic 3]

2.- y=                              a) x=2                                 b) x=-2                            c) x=y’=2x-3[pic 4]

 Y’= (-1)-  (2x)  =[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

a) En x=2       y’(2)== == + ES CRESIENTE [pic 9][pic 10][pic 11]

b) En x=-2     y’(-2)==== - ES DECRESIENTE [pic 12][pic 13][pic 14]

c) En x=3      y’(3)==== +  ES CRESIENTE [pic 15][pic 16][pic 17]

MAXIMOS Y MINIMOS (criterios de la primera derivada)

Antecedente:

Si el angulo de inclinación (α) de una recta tangente a una curva es igual a , entonces  (y por tanto y’) vale cero.[pic 18][pic 19]

Definición:

f(x) tiene un máximo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:

1.-Que f’(c)=0

2.-Que f’ para un valor un poco menor que c, sea positiva (>0)es decir, que f(x)para dicho valor sea creciente.

3.-que f’ para una valor un poco mayor que c, sea negativa (<0) es decir, que f(x) para dicho valor sea decreciente.

GRAFICA

Definición:

f(x) tiene un mínimo en x = c si cumple con las siguientes condiciones:

1.- Que f’(c) = 0

2.- Que f’  para un valor un poco menor que c, sea negativa (<0), es decir, que f(x) para dicho valor sea decreciente

3.-Que f’ para un valor un  poco mayor que c, sea positiva (>0), es decir, que f(x) para dicho valor sea creciente.

GRAFICA

-CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXION

Definición:

f(x)es cóncava hacia abajo  en x =a, si f” (a) <0[pic 20]

f(x)es cóncava hacia arriba en x =b, si f”(b) >0[pic 21]

f(x) tiene un punto de inflexión (cambio de concavidad) en x = d, si cumple con las siguientes condiciones:

1.-Que f” (d) = 0

2.-Que f” para un valor un poco menor que d,  sea (+) O  (-)

3.-Que f” para un valor un poco mayor que d, sea (-) o (+)

GRAFICA

EJEMPLO:

Para las siguientes funciones, determina cuando son cóncavas hacia abajo y cuando cóncavas hacia arriba. Calcula las coordenadas de su punto de inflexión:

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