Finanzas

http://www.eumed.net/libros-gratis/2008c/423/RENTAS%20VARIABLES%20EJERCICIOS%20PRACTICOS.htm

Casos generales.

Al igual que ya hicimos con las rentas constantes, lo primero que ha de quedar claro es la correcta utilización de las expresiones matemáticas de las rentas variables pudiendo reconocer en qué casos se ha de utilizar cada una de ellas. Además en las rentas variables es importante, dado que todos los capitales son distintos pero con relación conocida entre ellos, que sepamos en qué circunstancias es necesario calcular un capital enésimo.

Actividad nº 1:

Calcular el valor final de un renta compuesta por los siguientes capitales que vencen al final de cada año: 1.000 €, 1.500 €, 3.000 € y 4.000 €, valorada al 5 % anual.

Solución:

*Estamos ante una renta estrictamente variable, al no existir relación matemática entre los capitales, por lo tanto el valor final será la suma de los cuatro capitales en p = 4 y para obtenerlo tendremos que capitalizar cada uno de ellos:

Vf = 1.000 (1 + 0,05)3 + 1.500 (1 + 0,05)2 + 3.000 (1 + 0,05)1 + 4.000

Vf = 9.961,37 €

Actividad nº 2:

Calcular el valor actual y final de una renta cuya cuantía en el primer año es de 1.000.000 €, con incremento lineal cada año del 20 %. Duración de 10 años y valorada al 5 % anual.

Solución:

Estamos ante el caso general de una variable en progresión aritmética, al tener un crecimiento lineal, cuya razón es: 1.000.000 • 0,2 = 200.000 €. Sustituyendo en su expresión general:

Va = (1.000.000 + + 200.000 • 10) • a 10 0,05 -

Va = 14.052.144,50 €.

El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual:

Vf = 14.052.144,50 (1 + 0,05)10 = 22.889.462,68 €.

O utilizando su expresión general:

Vf = (1.000.000 + ) S 10 0,05 - = 22.889.462,68 €

Actividad nº 3:

Calcular el valor actual y final de una renta de 200.000 € en el primer año si tiene un crecimiento anual del 10 %, durante seis años y valorada al 5 % anual.

Solución:

Estamos ante el caso general de una variable en progresión geométrica, ya que el crecimiento no es lineal cuya razón es q = 1,10. Sustituyendo en su expresión general:

Va = 200.000 • = 1.287.864,38 €

El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual: Vf = 1.287.864,38 (1 + 0,05)6 = 1.725.861,44 €. O utilizando su expresión general:

Vf = 200.000 • = 1.725.861,44 €

Actividad nº 4:

Se realiza la compra de un edificio acordando la siguiente forma de pago:

• Al contado se abonan 1.000.000 € y el resto mediante 61 pagos mensuales el primero de 30.000 € y decrecientes a razón de 500 € mensuales.

• El tipo de interés de la operación se fija en el 6 % anual nominal anual.

Se pide calcular la duración de la operación y el valor al contado del edificio.

Solución:

Como todos los elementos de la renta están expresados en la misma unidad, el valor al contado del edificio será el valor actual de una variable en progresión aritmética, decreciente en 500 € cada mes, duración de 61 términos, valorada al 6 %: 12 = 0,5 % mensual.

Va = 1.000.000 + ( (30.000 - - 500 • 61) a 61 0,005 + )

Va = 1.000.000 + 827.443,92 = 1.827.443,92 €

 Rentas fraccionadas.

Ahora no sólo hay que identificar que tipo de renta variable es, sino también hay que aprender a identificar cuándo es una renta fraccionada. En la parte teórica ya se comentó que con las rentas variables tenemos tres elementos en juego, el capital, el tanto y la razón. En las constantes, éstas eran fraccionadas cuando el capital vencían en un periodo inferior al de capitalización del tanto y modificando éste solucionábamos el problema. En las variables esta condición se mantiene pero se exige que además el crecimiento o razón esté en la misma unidad que el tanto y como es más complejo efectuar cambios aplicamos directamente la expresión explicada m • .

Actividad nº 5:

Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 8 % efectivo anual, con pagos semestrales de 50.000 € que crecerán anualmente a razón de un 3 % en los casos lineal y acumulativo.

Solución:

• En el caso de la renta geométrica: Aplicamos la fórmula de la fraccionada:

Va = 50.000 • 2 • • = 769,823,14 €

El valor de im = 1 – (1 + 0,08)1/2 = 0,03923

El valor de Jm = 0,03923 • 2 = 0,07846

• En el caso de la renta aritmética procederemos de igual modo: La razón sería: 50.000 • 0,03 = 1.500 €

Va = ( (50.000 + + 1.500 • 10) a 10 0,08 - ) • 2 • = 763.629,25 €

El valor de im = 1 – (1 + 0,08)1/2 = 0,03923

El valor de Jm = 0,03923 • 2 = 0,07846

Actividad nº 6:

Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 4 % semestral, con pagos semestrales de 20.000 € que crecerán anualmente a razón de un 3 % en el caso lineal y acumulativo.

Solución:

• En el caso de la renta geométrica procederemos:

a) Cambiando el tanto a anual quedaría como una renta fraccionada normal, de m = 2, al cumplirse la condición general, C < (i = q), por lo tanto calculando el interés anual equivalente i = (1 + 0,04) 2 – 1 = 0,0816 y el nominal 0,04 • 2 = 0,08, aplicando la expresión general obtendremos el valor actual:

Va = 20.000 • 2 • • = 305.726,50 €

• En el caso de la renta aritmética procederemos igual: Si cambiamos el tanto a anual, y como el crecimiento nos lo dan en anual, d = 20.000 • 0,03 = 600 €, tenemos directamente una aritmética fraccionada de m = 2,

Va = ( (20.000 + + 600 • 10) a 10 0,0816 - ) • 2 • = 303.277,35 €

Actividad nº 7:

Una constructora vende sus pisos mediante recibos mensuales de 700 €, durante 10 años, valorados al 12 % anual efectivo. Un comprador solicita pagar cantidades mensuales que crezcan anualmente en un 5 %. Se pide calcular, el valor al contado del piso y las mensualidades a pagar en los tres primeros años si es aceptada esta propuesta.

Solución:

 El valor actual de las mensualidades que el comprador quiere abonar, será el equivalente al valor actual de la propuesta de la constructora. Como los pagos son mensuales obtenemos el interés mensual que será: (1 + 0,12)1/12 – 1 = 0,0094888. El valor al contado del piso será el valor actual de una renta constante:

Va = 700 • a 120 0,0094888 = 50.018,87 €

Como el comprador propone pagos mensuales crecientes y el resto de los datos de la operación están en unidad anual, tenemos una geométrica fraccionada

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