Formato De Manual

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

INGENIERÍA EN FINANZAS Y AUDITORIA

MATEMÁTICAS

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

PREPARADO POR;

JENNY MAGALY BRAVO

LATACUNGA, 2013

TABLA DE CONTENIDO

CONTINUIDAD DE FUNCIONES 2

Continuidad de una función en un punto 3

Continuidad por la izquierda: 6

Continuidad por la derecha: 7

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]: 7

Clasificación de discontinuidades 7

Operaciones con funciones continuas: 10

Teorema 10

Continuidad de la función compuesta 10

Bibliografía 11

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

(Vitutor, 2012) Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Grafico 1

Continuidad de una función en un punto

• Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Estudiar la continuidad de en x =2

f(2)= 4

Grafico 2

Continuidad:

Grafico 3

f(x)=x2

Significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

f

(x)=sgn x

Grafico 4

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

Grafico 5

f(x) = x2 si x <= 2

2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Grafico 6

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Continuidad por la izquierda:

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a). (Matematica 50webs, 2007)

Continuidad por la derecha:

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a). (Matematicas 50 webs, 2007)

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]:

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:f es continua en a por la derecha

f es continua en b por la izquierda

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

• Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

...