Formulario Mat

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Sucesiones

Concepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. a1, a2, a3 ,..., an 3, 6, 9,..., 3n Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1 a1= 2 ·1 - 1 = 1 a2= 2 ·2 - 1 = 3 a3= 2 ·3 - 1 = 5 a4= 2 ·4 - 1 = 7 1, 3, 5, 7,..., 2n-1 No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

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Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior. 2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término. an = a1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12, .. an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

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an = ak + (n - k) · d a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos. ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

4

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 6 / 3 = 2 12 / 6 = 2 24 / 12 = 2 48 / 24 = 2 r= 2.

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término. an = a1 · rn-1 3, 6, 12, 24, 48, .. an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. an = ak · rn-k a4= 24, k=4 y r=2.

an = a4 · rn-4

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