Calculo Formulario

Wroskiano

w=■(y_1&y_2&y_n@y_1^1&y_2^1&y_n^1@ y_1^((n-1) )& y_2^((n-1) )& y_n^((n-1) ) ) ≠0 Las soluciones son independientes

Ejemplo

Demostrar que las soluciones y_1=c_1 e^x y y_2=c_2 e^2x son independientes o no

W = [■(c_1 e^(-x)&c_2 e^2x@〖-c〗_1 e^(-x)&〖2c〗_2 e^2x )] = 〖2c〗_1 c_2 e^x+c_1 c_2 e^x

=〖3c〗_1 c_2 e^x son linealmente independientes

Soluciones de EDO de orden superior

a_n y^((n))+ a_(n-1) y^((n-1))+ …..a_1 y^1+ a_0 y=f(x)

Solución homogénea y_n f(x)=0

Solución particular y_p f(x)existe

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria es igual:

y=y_p+y_n

Principio de superposición de posiciones

Ejemplo

Sean y_1= c_1 e^2x y_2= c_2 e^(-3x)

Soluciones de la ecuación y^ll+y^l-6_y=0

↰y^ll=4c_1 e^2x Sustituyendo en la ecuación

y^1=2c_1 e^2x 4c_1 e^2x+2c_1 e^2x-6c_1 e^2x=0

Comprobando y_2

y_2^ll=9c_2 e^(-3x) Sustituyendo en la ecuación

y_2^l=-3c_2 e^(-x) 9c_2 e^(-3x)-3c_2 e^(-3x)-6c_2

Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes

Ecuaciones de la forma any^n+an-1y^(n-1)+a_1 y^1+a_0 y=0 donde

a_i i=0,1,2……n son constantes

La solución general

y=c_n e^λnx+c_(n-1) e^(λn-1x)+ …..c_1 e^λ1x

Existe que si los dos landas son iguales:

c_1 e^3x+c_2 e^x+c_3 xe^3x Donde se anexo letra x

Ejemplo

(d^3 y)/(dx^3 )+2(d^2 y)/(dx^2 )-5 dy/dx-6y=0

Factorizando

(λ-2) ( λ+1) ( λ+3)=0

λ_1=2 〖 λ〗_2=1 λ_3=-3

Resultado

y=c_1 e^2x+c_2 e^(-x)+c_3 e^(-3x)

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