Geometria Analitica

PARÁBOLA CON VÉRTICE (h,k) FUERA DEL ORIGEN

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.

Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz, tendremos:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando

X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2

X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2

X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2

-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp

(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp

(y - k)2 = 4Xp - 4hp

(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:

y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp

y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0

Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:

y2 + Dy +Ex + F = 0

Análogamente como en el caso anterior:

PF = PM, se tiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

X2 - 2X(h - p) + (h - p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h + p) + (h + p)2

Desarrollando los binomios y simplificando:

X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2

2Xp - 2hp + (y - k)2 = - 2Xh + 2hp

(y - k)2 = - 2Xp + 2hp + 2hp - 2Xp

(y - k)2 = -4p(X - h)

Otra forma de la ecuación es:

y2 + Dy + Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz:

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2

(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp

(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp

(X - h)2 = 4yp - 4kp

(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:

X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp

X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:

X2 + Dx + Ey + F = 0

*Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo foco está a una distancia p del vértice y debajo de él.

Como PF = PM = Ecuación de la Directriz se tiene:

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k - p)]2 = [y - (k + p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k - p) + (k - p)2 = y2 - 2y(k + p) + (k + p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2 = y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2

(X - h)2 + 2yp - 2kp = - 2yp + 2kp

(X - h)2 = - 2yp + 2kp - 2yp + 2kp

(X - h)2 = - 4yp + 4kp

(X - h)2 = - 4p(y - k)

Otra forma de las ecuación es:

X2 + Dx +Ey + F = 0

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Elipse Horizontal con centro en el origen

Para obtener la ecuación general de la elipse:

F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia:

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos:

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a + x2 - 2xc + c2 + y2

Simplificamos:

4a = 4a2 - 4xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical:

= a2 - xc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical

a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2

Reduciendo términos semejantes:

a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2

Factorizando

x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es:

Elipse vertical con centro en el origen.

Para obtener la ecuación general de la elipse:

F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos:

y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 - 4a + y2 - 2yc + c2 + x2

Simplificamos:

4a = 4a2 - 4yc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical

= a2 - yc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical

a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4 - 2a2yc + y2c2

Reduciendo términos semejantes:

a2y2 - y2c2 + a2x2 = a4 - a2c2

Factorizando:

y2(a2 - c2) + a2x2 = a2(a2 - c2)

Dividiendo la igualdad entre el producto a2(a2 - c2)

Como a2 > c2 entonces a2 - c2 es positivo, podemos hacer a2 - c2 = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen es: La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal. x =

Cuando la elipse es vertical. y = Eje Mayor = 2ª Eje Menor = 2b

ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN.

Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.

La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:

Se observa que:

x = x' + h

x' = x - h

y = y' + k

y' = y - k

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:

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