Guía de ejercicios de sistema numerico

GUÍA DE EJERCICIOS: GRUPOS

Sea (Z; ∗) tal que a ∗ b = a + b + 3, donde a; b ∈ Z. Demuestre que (Z; ∗) es un grupo.

Demuestre que todo grupo G, en donde se tiene la relación a² = e, para todo a € G debe ser abeliano

Sea Q* el conjunto de los números racionales distintos del cero. Probar que (Q*, .) es un grupo.

Sea G = Z ×Z el producto cartesiano de Z consigo mismo, cuyos elementos son las parejas ordenadas de números enteros (m, n). Podemos definir una operación en este conjunto mediante:

(m1, n1) ⊕ (m2, n2) = (m1 + m2, n1 + n2), donde + denota la suma de números enteros. Demuestre que G es un grupo.

Pruebe que si G es un grupo, vale la ley de cancelación por la derecha y por la izquierda en G, es decir, si a, b, c ∈ G y ab = ac, entonces b = c; por otra parte, si ab = cb, entonces a = c.

Verificar que el conjunto G = {e, a, b, c} con la operación indicada en la tabla, es, en efecto, un grupo, que además es abeliano.

. e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Si G es un grupo y para todo a ∈ G se tiene que a = a−1, pruebe que

G es abeliano.

Sea G = (Q⁺, *) un grupo definido mediante a*b = (a.b)/2 . Demuestre que G es un grupo abeliano.

Sea G = (C; +) donde C = {(a; b) = a; b ∈ R} es el conjunto de los números complejos y la adición está definida por (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d); ∀ (a; b); (c; d) ∈ C. Demuestre que G es un grupo abeliano.

Sea (Z; ∗) tal que a ∗ b = a + b − 2, donde a; b ∈ Z. Demuestre que (Z; ∗) es un grupo.

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