INTEGRACION CAMPO COMPLEJJO

TEMA 4: INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO

1. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO

El desarrollo de la teoría de funciones de una variable compleja sigue un camino muy distinto al usado en la teoría de funciones de variable real.

En esta última teoría, tras estudiar las funciones derivables, se estudian las funciones que admiten derivadas de órdenes superiores, luego las indefinidamente derivables y por último las que admiten desarrollo de Taylor en serie de potencias.

En la teoría de funciones de variable compleja, se comienza estudiando las funciones analíticas. Forman éstas una clase tan restringida que automáticamente admiten derivadas de cualquier orden en cada punto en que sean analíticas. Más aún, admiten desarrollo de Taylor, en un entorno de cada punto de analiticidad.

Pero supuesta f(z) analítica en un dominio, no ha sido posible demostrar la existencia de derivadas de órdenes superiores, sin recurrir a la integración compleja. En el desarrollo de Cauchy de la teoría de funciones de variable compleja, todo se hace depender del cálculo integral complejo, incluso en cuestiones que aparentemente sólo se refieren al cálculo diferencial.

Por tanto, constituyen una parte muy importante de la teoría de funciones de variable compleja, la teoría de las integrales curvilíneas, junto con la de series de potencias. Se caracterizan por su elegancia matemática y por su gran utilidad en la matemática tanto pura como aplicada.

Para definir la integral curvilínea o integral definida compleja a lo largo de una curva, es conveniente definir previamente la integral definida de una función compleja de variable real, en un intervalo.

2. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA DE VARIABLE REAL.

Se trata de una generalización inmediata de la integral simple real.

a) Definiciones previas

• Una función compleja de variable real es una función de la forma:

f(t) = u(t) + i v(t) ó z(t) = x(t) + i y(t) con t  I = [a,b]

• Dicha función se dice continua en I, si lo son x(t) e y(t).

Obsérvese que una tal función define una curva  en el plano complejo, recorrida en un sentido determinado.

• La función anterior se dice continua a trozos en I, si x(t) e y(t) son continuas a trozos en I (Acotadas y continuas en I excepto en un número finito de puntos de discontinuidad de primera especie)

• Se dice que z(t) = x(t) + i y(t) es derivable a trozos en I si lo son x(t) e y(t).

Se define entonces la función derivada como z´(t) = x´(t) + i y´(t)

• Se dice que z(t) = x(t) + i y(t) es regular en I, o que lo es la correspondiente curva , si existen x´(t) e y´(t) y son continuas y no nulas ambas en I.

• Se dice que z(t) = x(t) + i y(t) es regular a trozos en I, o que lo es la correspondiente curva , si x(t) e y(t). son continuas en I, existiendo y siendo continuas, x´(t) e y´(t). en I, excepto a lo sumo en un nº finito de puntos en los que deben existir y ser continuas las derivadas laterales.

• Un contorno es una curva regular a trozos y simple o de Jordan.

b) Definición

Dada la función compleja de variable real z(t) = x(t) + i y(t) continua a trozos en [a,b], se define la integral definida de z(t) sobre [a,b] como

(4.1)

c) Propiedades

De la definición y las propiedades de la integral definida de funciones reales de variable real, se deduce de forma inmediata, siendo z(t), z1(t), z2(t), continuas a intervalos en

I = [a,b]:

•

•

•

También se cumple:

•

• C

• Si la función compleja de variable real Z(t) verifica Z´(t) = z(t) , entonces:

Se verifica también:

Demostración:

Sea Entonces

Si verifica que es real, entonces: =

La integral es real por ser igual a R.

Luego

Ahora el integrando es una función real de variable real y además:

Luego aplicando la correspondiente propiedad del caso real:

3. INTEGRALES CURVILÍNEAS COMPLEJAS, O DE CONTORNO

a) Definición

“Sea C un contorno descrito por C: z(t) = x(t) + i y(t) con t  I = [a,b]

Sea f(z) una función compleja de variable compleja, continua sobre C.

La integral curvilínea compleja o integral de contorno de f(z) a lo largo del arco orientado C, que se representa por , se define así:

(4.2)

b) Comentarios

• La integral del 2º miembro es integral de una función compleja de variable

real t.

• Existe esa integral, pues z(t) es continua en I y f(z) continua sobre C.

Luego es continua en I y como z´(t) es continua en I excepto en un nº finito de puntos, el integrando es continua a trozos en I.

• Si z´(t) no es continua sobre I, puede dividirse el intervalo I de forma obvia. Es decir si C está compuesto de un nº finito n de arcos regulares orientados Ci entonces:

c) Expresión en términos

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