Isometrias

GUIA MATEMATICA

PRIMEROS MEDIOS

UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS

Aprendizajes esperados:

1. Relacionan y analizan propiedades de figuras geométricas en contextos de embaldosamiento de una superficie plana.

Actividad 1

Analizar relaciones y propiedades de figuras geométricas que derivan de la posibilidad de embaldosar superficies planas. Contenidos:

1. Concepto de Transformaciones Isométricas.

2. Simetría Axial.

3. Vectores.

4. Traslaciones.

5. Rotaciones.

6. Simetría Central.

7. Simetría Rotacional.

8. Composición de Transformaciones Isométricas.

9. Transformaciones Isométricas en el plano cartesiano.

10. Diseño baldosas.

11. Mosaicos en trama cuadrada.

12. Mosaicos en trama triangular.

2. Caracterizan la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.

3. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación, rotación o simetría.

4. Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras simétricas, trasladadas y rotadas.

Actividad 2

Caracterizar traslación, simetría y rotación. Describir los cambios que genera su aplicación y utilizarlas para construir figuras. Transformar figuras por simetría y traslación en un sistema cartesiano de coordenadas y analizarlas.

5. Diseñan composiciones sencillas que incorporan traslaciones, simetrías y rotaciones.

6. Reconocen simetrías, rotaciones y traslaciones en la naturaleza y en obras de arte tales como las de M.C.Escher, el palacio de la Alhambra, algunas artesanías, etc.

7. Describen patrones que se observan en la aplicación de simetrías, rotaciones y traslaciones en un sistema de coordenadas.

Actividad 3

Diseñar composiciones sencillas y describir y analizar transformaciones isométricas presentes en el arte, en la naturaleza, en el mundo de la ciencia y/o en diseños estructurales y tecnológicos.

Si a una figura geométrica se le aplica una transformación, y esta no produce un cambio en la medida de los lados y ángulos se llama “transformación isométrica”.

Observemos a continuación algunas transformaciones geométricas en el plano:

Traslación:

ABCDEF se ha transformado a la figura A’B’C’D’E’F’, en la dirección y longitud del vector

Rotación:

ABCDE se ha transformado a la figura A’B’C’D’E’, mediante la rotación con centro en el punto O y con el ángulo y en el sentido que este ángulo indica.

En estas dos figuras, el ángulo que forma el vértice de la figura original con su homologo es siempre el mismo.

Reflexión:

ABCD se ha reflejado entorno a la recta L quedando en la figura A’B’C’D’

Homotecia:

A la figura ABCD se le ha aplicado una homotecia de centro O y razón 3 : 2, transformándose en el cuadrilátero A’B’C’D’

¿cómo son estas dos figuras?

En las transformaciones anteriores, las tres primeras corresponden a transformaciones Isométricas, mientras que la ultima no lo es, ya que conserva los ángulos pero no las medidas de los lados.

SISTEMAS DE COORDENAS

Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano. Este sistema es el de coordenadas rectangular u ortogonal. Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí X’X e Y’Y llamadas ejes de coordenadas.

La recta X’X (horizontal, abscisas) recibe el nombre de EJE X y la recta Y’Y (vertical, ordenadas) recibe el nombre de EJE Y.

La intersección entre el eje X y el eje Y es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.

El origen del sistema divide a cada eje en dos semi-ejes:

(a) las ABSCISAS ubicadas a la derecha del eje Y, respecto del origen, son positivas y las ubica¬das a la izquierda son negativas.

(b) las ORDENADAS ubicadas hacia arriba del eje X, respecto del origen, son positivas y las ubica¬das hacia abajo son negativas.

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, numerados según se muestra en la Figura.

Representación de puntos en el Plano

Todo punto P del plano, queda determinado por un par de números reales x e y que se llaman COORDENADAS del punto P, y se representan por el par de coordenadas (x,y).

La coordenada x de P se llama ABSCISA. La coordenada y de P se llama ORDENADA.

Los puntos en el plano se designan por las letras mayúsculas: A, B, C, P etc.

Los puntos cuyas ordenadas son cero, están sobre el eje X o eje de las abscisas. Los puntos cuyas abscisas son cero, están sobre el eje Y o eje de las ordenadas.

Todo punto P en el plano, puede localizarse a través de coordenadas. Las coordenadas de P se obtienen trazando PA perpendicular al eje X y PB perpendicular al eje Y.

La longitud del segmento OA es la abscisa de P y se representa por x. La longitud del segmento OB es la ordenada de P y se representa por y.

Transformaciones

Embaldosados

Los embaldosados o teselaciones se realizaron desde tiempos muy antiguos, sin embargo, su historia y su estudio en la matemática es reciente.

En resumen, embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que:

• Al unir las figuras se recubre completamente el plano

• La intersección de dos figuras sea vacía (sin huecos)

1. Teselación Regular

La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Al observar estas partes del plano embaldosadas por cada uno de los polígonos regulares, distinguimos situaciones que conviene destacar.

Al embaldosar con cuadrados, estos se alinean perfectamente uno sobre otro, en cambio los triángulos y los hexágonos se ensamblan no alineados. También se observa que un hexágono regular lo forman seis triángulos equiláteros simultáneamente.

Al cubrir el plano ocurre que en cada vértice del polígono regular, su ángulo interior debe ser divisor exacto de 360º, lo que ocurre solamente en el triángulo equilátero, en el cuadrado y en el hexágono.

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