JOHN NASH: UNA MENTE MARAVILLOSA

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JOHN NASH: UNA MENTE MARAVILLOSA

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El matem´atico americano John Nash ha recibido ´ultimamente una notable atenci´on medi´atica debida sobre todo a la publicaci´on de su biograf´ıa1 y al estreno de la pel´ıcula “Una mente maravillosa”. La Real Sociedad Matem´atica Espa˜nola quiere hacerse eco de esta atenci´on y aprovechar la ocasi´on para fomentar el conocimiento de su obra. Con este objetivo publica los dos art´ıculos siguientes:

• Un premio Nobel para John Nash: Una mente maravillosaMilnor que recoge, en su totalidad, el art´ıculo de John Milnor,de JohnA

Nobel Prize for John Nash2, junto con algunos extractos de John Nash and “A Beautiful Mind”3, del mismo autor, que lo complementan.

La Gaceta de la RSME agradece los permisos editoriales para su traducci´on y publicaci´on, as´ı como la colaboraci´on de John Milnor.

John Milnor se form´o en la Universidad de Princeton. Ha trabajado en Topolog´ıa, Geometr´ıa, Algebra Din´´ amica y (tiempo ha) en Teor´ıa de Juegos. En 1962 recibi´o la medalla Fields en reconocimiento a su trabajo. Desde 1989, es director del Institute for Mathematical Sciencies en la Universidad del Estado de Nueva York en Stony Brook.

• J. F. Nash: Un matem´ciano especialista en Teor´atico Nobel de Econom´ıa de Juegos de la Universidad del Pa´ıa de Federico Valen-ıs

Vasco.

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1Silvya Nasar, A Beautiful Mind: A biography of John Forbes Nash Jr., Simon & Schuster, Nueva York, 1998. Traducci´on espa˜nola: Una mente prodigiosa, Grijalbo-Mondadori, Barcelona, 2002.

2The Mathematical Intelligencer, Vol 17, no 3, 1995, p´aginas 11-17

3Notices of the American Mathematical Society, November 1998, p´aginas 1329-1332

Un premio Nobel para John Nash: Una mente maravillosa

por

John Milnor

Durante los escasos diez a˜nos que dur´o su actividad investigadora, John Forbes Nash logr´o crear un asombroso conjunto de resultados matem´aticos. Para algunos, el breve art´ıculo que escribi´o cuando ten´ıa 21 a˜nos y por el que se le concedi´o el Premio Nobel de Econom´ıa^[1], podr´ıa considerarse como el menos relevante de sus logros^[2]. Sin embargo, aplaudo el acierto del Comit´e de Selecci´on del premio Nobel de otorgarle el premio a Nash, porque resulta notablemente dif´ıcil aplicar m´etodos matem´aticos precisos a las ciencias sociales y, sin embargo, las ideas de la tesis doctoral de Nash son simples y rigurosas y aportan una base s´olida en la que cimentar, no s´olo teor´ıas econ´omicas, sino tambi´en estudios de Biolog´ıa evolutiva y, en general, el an´alisis de[pic 4]

cualquier situaci´on en la que seres humanos, o John F. Nash no, se enfrentan a competencia o a conflicto. En opini´on de P. Ordeshook [O, p´agina 118]

El concepto de equilibrio de Nash es quiz´as la idea m´as importante de toda la Teor´ıa de Juegos no cooperativos [...] Tanto si queremos analizar las estrategias de que disponen los candidatos de unas elecciones, las causas que motivan una guerra, la manipulaci´on de los programas electorales a lo largo de una legislatura, o la actividad de grupos de presi´on o de poderes f´acticos, nuestras predicciones se reducen a la b´usqueda y descripci´on de equilibrios. Sencillamente, buscamos estrategias de equilibrio para hacer predicciones sobre el comportamiento de la gente.

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La primera secci´on de este art´ıculo describir´a el trabajo por el que a Nash se le concedi´o el premio Nobel. Tras una breve digresi´on, la tercera secci´on esbozar´a parte de los logros en los que se fundamenta la fama de que Nash goza entre los matem´aticos, y la ´ultima repasar´a brevemente la vida de Nash tras 1958.

TEOR´IA DE JUEGOS

En el marco establecido por von Neumann y Morgenstern [NM], un juego de n personas se describe de la manera siguiente. Hay n agentes o jugadores, numerados de 1 a n. Cada jugador i, con i entre 1 y n, tiene a su disposici´on un conjunto Si de posibles estrategias, y eligir´a alg´un elemento si de Si; la naturaleza del juego permite que los agentes escojan simult´aneamente entre sus opciones. El resultado final del juego es, por tanto, funci´on de las n elecciones s1,s2,...sn. Cada uno de los jugadores tiene un sistema de preferencias con el que ordena los posibles resultados; resulta conveniente describir las preferencias del jugador i-´esimo mediante una funci´on pi con valores reales,

pi : S1 × ... × Sn −→ R,

a la que se denomina ganancia. El objetivo de cada jugador es elegir si para maximizar su ganancia, bien entendido que para cada j =$ i, el jugador jp-j´esimo. simult´aneamente elige sj para intentar maximizar su propia ganancia

En la interpretaci´on usual del modelo matem´atico, los distintos “jugadores” suelen ser personas. Sin embargo, caben otras posibilidades: los jugadores pueden ser naciones, empresas, equipos, ordenadores (programados por seres humanos) o animales. Para estudiar la Evoluci´on, consideramos la competencia entre especies, (cons´ultense [MSP], [MS2] y [D1]). En los juegos que se desarrollan durante un periodo de tiempo, hemos de entender “las estrategias” de los jugadores no como elecciones simples, sino m´as bien como prescripciones de qu´e hacer en cada situaci´on imaginable que pueda ocurrir durante el juego. Por ejemplo, una estrategia para el ajedrez podr´ıa consistir en un programa de ordenador capaz de seleccionar un movimiento para cada situaci´on de la partida. Por cierto, la ganancia que reporta el juego no se mide necesariamente en t´erminos de algo simple y objetivo, como el dinero, sino que se supone que incorpora cualquier motivaci´on relevante que los jugadores pudieran contemplar, sea ´esta egoista, altruista o lo que fuere.

Aunque von Neumann y Morgenstern desarrollaron una refinada teor´ıa que permite tratar los juegos de dos personas y de suma cero, en el sentido de que p1 + p2 = 0, su aplicaci´on al caso general resulta complicada y discutible.

La teor´ıa de Nash, sin embargo, es directa y elegante.

definicion.´ Una n-tupla de estrategias (s1,s2,... ,sn) constituye un punto de equilibrio para el juego si ning´un jugador puede incrementar su ganancia

pi(s1,s2,... ,sn)

cambiando s´olo si mientras los otros sj quedan fijos.

No se afirma que un punto de equilibrio deba ser un resultado deseable del juego, de hecho, en ocasiones, el punto de equilibrio puede suponer un verdadero desastre para todos y cada uno de los jugadores. (Es f´acil imaginar, por ejemplo, un juego de “guerra at´omica” con un ´unico punto de equilibrio en el que cada uno de los jugadores aniquila a todos los dem´as). Muy al contrario, debemos considerar un punto de equilibrio como la descripci´on de lo que probablemente ocurra en una situaci´on de total falta de cooperaci´on, en la que los jugadores persiguen sus objetivos individuales sin cooperar, bien porque no pueden comunicarse entre ellos, bien porque no hay mecanismos que les permitan cooperar o bien, sencillamente, porque no tienen inter´es alguno en cooperar. La teor´ıa de von Neumann-Morgenstern, por el contrario, s´olo considera juegos cooperativos.

Los dos ejemplos siguientes, que agradezco a Hector Sussmann, muestran cuan relevantes pueden llegar a ser en la vida diaria los puntos de equilibrio:

ejemplo 1. En una aburrida fiesta, todos los invitados quieren irse a casa temprano, pero nadie quiere marcharse antes de medianoche, salvo que alg´un otro invitado se vaya primero. S´olo hay un punto de equilibrio: todo el mundo se queda hasta medianoche. (Cons´ultese [Sch]).

ejemplo 2. Veinte personas van a cenar juntas una noche. Cada uno de ellos puede elegir entre dos men´us: uno de 10 d´olares, que no est´a mal, y otro excelente, de 20 d´olares. Si cada uno se pagara lo suyo, todos se inclinar´ıan por escoger el men´u m´as barato. Sin embargo, han decidido que van a dividir la cuenta en partes iguales. Como para cada uno de ellos, pasar del men´u barato al caro supone un coste marginal de tan s´olo 50 centavos, todos eligen el men´u caro.

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