La Parábola

Parábola

Definición 1: Es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz.

Definición 2: Como lugar geométrico, la parábola es el lugar de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz.

Definición 3: La parábola es el conjunto de puntos P(x, y) del plano que está a la misma distancia de un punto F (foco), y de una recta fija d (directriz).

d (P,F) = d (P, d) = 2/p

Definición 4: Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l. Es decir:

Parábola = {P(x, y) / d(P, F) = d( p,l)}

Los elementos de una parábola son:

En la parábola se distinguen los siguientes elementos:

El foco es el punto F.

La directriz es la recta d.

El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco.

El parámetro es la distancia FD del foco a la directriz d y se designa por p.

El eje de la parábola es también un eje de simetría. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

El vértice es el punto V en que el eje corta a la parábola.

Ecuación Canónica

Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta l tiene ecuación y =− p con p>0.

Observe que d(P,F) = √(x − 0)2 + ( y − p)2 y que d(P,l) = |y + p| .

Igualando distancias y resolviendo:

d(P,F) = d(P,l)

√(〖(x-0)〗^2 )+〖(y-p)〗^2= y + p

(√(〖(x-0)〗^2 )+〖(y-p)〗^2 )^2= 〖(y+p)〗^2

x^2 + y^2- 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2

x^2= 4py

Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene coordenadas (0,0). A la recta perpendicular a la directriz, que contiene al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal.

Si el vértice no está en el origen entonces su ecuación seria:

〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

Elipse

Definición 1: La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usuales: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Definición 2: Como lugar geométrico puede definirse elipse es el lugar de los puntos tales que la suma de las distancias de cada uno a dos puntos fijos, es constante.

Definición 3: Es una sección cónica en la que la inclinación del plano es mayor que el ángulo de conicidad.

Definición 4: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F y F’ dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia FF’. Un punto M pertenece a la elipse de focos F y F’ si:

FM+F^' M=d=2a

Donde a es el semieje mayor de la elipse.

Definición 5: En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF’ se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a él semieje mayor.

Definición 6: Sean 1 F y 2 F dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La Elipse se define como el conjunto de puntos P(x, y) tales que la suma de su distancia a F_1 con su distancia a F_2 es igual a 2a. Es decir:

Elipse= {P(x,y)/d(P,F)d(P,F) 2a}

A F_1y F_2 se les denomina focos de la elipse y “a” representa la medida del semieje mayor de la elipse.

Excentricidad

Si se observan varias elipses se ve que unas son redondeadas y otras son alargadas o achatadas. Esta característica de la elipse de ser más o menos redondeada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a: e = c / a, con c<a.

Como c<a, se deduce que la excentricidad es un número comprendido entre 0

y 1. Cuanto más se aproxima la excentricidad a 1 más alargada o achatada es

la elipse, tendiendo a confundirse con el eje mayor; y cuanto más se aproxima

a 0 más se parece a una circunferencia.

Para saber si se trata de una elipse horizontal o una elipse vertical, basta comparar los dos denominadores de la ecuación particular. Como a > b , el denominador mayor debe ser a2. El eje mayor es paralelo al eje de la variable en donde está a.

Igual que en las anteriores cónicas que tienen términos al cuadrado, h significa el desplazamiento horizontal del centro y k el desplazamiento vertical del centro.

Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que a partir del teorema de Pitágoras está dada por la fórmula:

a^2=b^2+c^2

Los elementos de una elipse son:

En la elipse se distinguen los siguientes elementos:

El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.

El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´.

El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.

La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c.

Los focos son los puntos F y F´. En una elipse de centro C(0,0), las coordenadas de los focos son F(c,0) y F´(-c,0)

Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los ejes cortan a la elipse. En una elipse de centro O(0,0), las coordenadas de los vértices son A(a,0) A´(-a,0) B(0,b) B´(0,-b)

El eje mayor es el segmento AA´.

El eje menor es el segmento BB´.

...