La Probabilidad

TEMA 12: LA PROBABILIDAD 1-T12

1.- Experimentos Aleatorios y Deterministas.

Nuestro entorno está lleno de vida, y en todo momento estamos rodeados de lo que se llaman “fenómenos sociales colectivos”, que no son más que cualquier hecho o suceso que ocurra a nuestro alrededor.

No todas las acciones que realizamos a lo largo de nuestra vida tienen un resultado definido. Si lanzas una piedra al aire, sin duda volverá a caer. Asimismo, si accionamos el interruptor de una lámpara sabes que la bombilla, hasta entonces encendida, se apagará. El resultado de estas experiencias está totalmente determinado, por lo que reciben el nombre de Experimentos Deterministas. Su definición podría ser:__________________________________

Sin embargo, al lanzar una moneda al aire no puedes saber de antemano si saldrá la cara del Rey o la cara donde pone 1 €. Lo mismo pasa al sacar una bola de los bombos del cupón de la ONCE. En estos casos no podemos conocer previamente el resultado de las experiencias, por lo que toman el nombre de Experimentos Aleatorios. Su definición podría ser:________________

2.- El Espacio Muestral.

El primer paso que debemos realizar al estudiar un experimento aleatorio es definir el conjunto de sus posibles resultados. Por ejemplo, si consideramos el experimento de “lanzar una moneda” los resultados posibles son dos: cara y cruz. Cada uno de estos resultados se llama suceso elemental (elemento), y el conjunto de todos ellos es el espacio muestral. Se pueden definir así:

Suceso elemental________________________________________________________

Espacio muestral________________________________________________________

El espacio muestral va precedido siempre por la letra griega “”, un igual después y entre dos llaves se ponen, a continuación, todos lo elementos del espacio muestral.

3.- Sucesos.

Considera el experimento de lanzar un dado con forma de cubo. Su espacio muestral estará formado por 6 elementos (6 sucesos elementales), que son desde el nº 1 al 6.

Ahora estamos interesados en estudiar situaciones más complejas, como sacar un número par, sacar un número menor que 3,... Estas situaciones se caracterizan por sus resultados:

Situación Resultados

Sacar un número par {2,4,6}

Sacar un número menor que 3 {1,2}

Sacar un número mayor que 1 {2,3,4,5,6}

Sacar un 3 o un 5 {3,5}

Suceso es cada una de las situaciones que se pueden estudiar de un experimento aleatorio, y se corresponden, normalmente, con una parte del espacio muestral. Se representan con letra mayúscula siempre.

4.- Tipos de Sucesos.

Vamos a partir del experimento lanzar un dado cúbico. Consideremos el suceso sacar un número menor o igual que 6. ¿En qué circunstancias ocurrirá este suceso? Sea cual sea el resultado del experimento, este suceso ocurrirá siempre con absoluta certeza. Por lo tanto, un suceso seguro es aquel que ocurrirá siempre que se realiza el experimento, y coincidirá con el espacio muestral.

Pensemos ahora en el suceso sacar un número mayor que 6. ¿Crees que ocurrirá laguna vez? Cualquiera que sea el resultado del experimento de lanzar el dado cúbico, es imposible obtener un número de esas características. Por ello, se habla de suceso imposible a aquel que no ocurre jamás hagamos el experimento cuantas veces quiera, y se representará por el símbolo:

O

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Por último, existen, como hemos visto anteriormente, una serie de sucesos que en algunas ocasiones sucederán y en otras no (sacar menos de 3). A este tipo de sucesos se los denominan sucesos probables, que serían aquellos que pueden ocurrir o no a la hora de realizarlos, y corresponderían con una parte del espacio muestral.

5.- Concepto de probabilidad.

Una chica llamada Josefina se preguntaba un día en qué medida podía confiar en que a su padre le tocara la lotería. Cuando utilizamos la palabra probable estamos expresando la posibilidad de que ocurra una situación de la que no estamos seguros. En este caso es necesario medir el grado de certeza de dicha situación. Esta medida es la Probabilidad.

Coloquialmente decimos que es muy probable que suceda X para expresar que estamos casi seguros de que ocurrirá el suceso X. En cambio, decimos que es muy improbable que suceda Y si creemos firmemente que el suceso Y no ocurrirá.

En matemáticas, la probabilidad de un suceso A se mide asignándole un número entre 0 y 1, al que llamamos P(A). Si P(A) = 0 significa que el suceso A no ocurrirá nunca al realizar el experimento aleatorio, mientras que P(A) = 1 significa que A ocurrirá con absoluta seguridad.

Los valores intermedios de P(A) se corresponderán con diversos grados de certeza: muy probable, probable, tan probable como improbable, improbable,...

Por todo ello, definiremos la Probabilidad como___________________________________

6.- Cálculo de la Probabilidad.

No es nada complicado averiguar la probabilidad de un determinado suceso. Sólo habrá que estar muy atentos al espacio muestral y a los casos favorables de un determinado suceso, que en ocasiones es una tarea un tanto laboriosa por la cantidad de sucesos elementales que nos aparecen. Se suele utilizar la Regla de Laplace para averiguar la probabilidad de un suceso A. Esta regla se aplica únicamente cuando los distintos elementos que conforman el espacio muestral tienen la misma posibilidad de salir (situación de equiprobabilidad), y se efectuará mediante una fracción:

- En el numerador se pone el número de resultados favorables al suceso A

- En el denominador se pone el número total de resultados posibles, es decir, la cantidad de sucesos elementales (elementos) que tiene el experimento.

7.- Pruebas repetidas.

Los experimentos que hemos visto anteriormente sólo los hemos efectuado una única vez. En este apartado lo que se pretende es realizar un mismo experimento unas pocas de veces, las veces que el ejercicio me indique, y por eso se llama pruebas repetidas.

Consideremos la experiencia de lanzar una moneda 3 veces seguidas. Sea A el suceso de salir dos caras y una cruz. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salga? En estos casos, lo más importante es establecer correctamente cuál es el espacio muestral (se debe guardar un orden) para contar después los casos favorables al suceso que nos interesa. Quedaría así:

 ={ccc,ccx,cxc,xcc,cxx,xcx,xxc,xxx} c = cara x = cruz. Las tres letras juntas indican lo que sale en la 1ª, 2ª y 3ª tirada, respectivamente.

Los

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