La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma: 

[pic 2] con [pic 3] y [pic 4] 

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. 

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue: 

a.

El integrando contiene una función de la forma [pic 5] con [pic 6] 

Se hace el cambio de variable escribiendo 

[pic 7]donde [pic 8] 

Si [pic 9] entonces [pic 10] 

Además: [pic 11] 

[pic 12] pues [pic 13] y como 

[pic 14] entonces [pic 15] por lo que [pic 16] 

Luego: [pic 17] 

Como [pic 18] entonces [pic 19] 

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: 

[pic 20]

Ejemplos:

Sea [pic 22] con [pic 23] 

[pic 24] 

Luego: [pic 25] 

[pic 26] 

Sustituyendo: 

[pic 27] 

[pic 28] 

[pic 29] 

[pic 30] 

[pic 31] 

Como [pic 32] entonces [pic 33] y [pic 34] 

Además [pic 35] por lo que [pic 36] 

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

[pic 37]

Por último: 

[pic 38] 

[pic 39] 

[pic 40]