Para evaluar la integral trigonométrica que contienen senos y cosenos.

Integrales trigonometricas

Para evaluar la integral trigonométrica que contienen senos y cosenos

• En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
• La identidad [pic 5] [pic 6] [pic 7] [pic 8] [pic 9] permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando [pic 10] en la integral trigonemetrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad [pic 11] para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

  [pic 12]

  [pic 13]

  [pic 14]

  [pic 15]

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo [pic 16], [pic 17]. Como en la expresion no tenemos un [pic 18] multiplicamos ambos lados por [pic 19] y nos queda la expresión [pic 20] que ya podemos sustituir:

   [pic 21]

2. Cuando m es impar

Cuando [pic 22] en la integral trigonemetrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear [pic 23] para poder expresar los factores restantes en términos del [pic 24]:

  [pic 25]

  [pic 26]

  [pic 27]   

  [pic 28]

al hacer [pic 29] y [pic 30] tendríamos

  [pic 31]

3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx son pares a la vez [pic 32] y [pic 33], podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo [pic 34] -y- [pic 35] algunas veces nos sera útil utilizar la identidad [pic 36]

     [pic 37]

     [pic 38]

seria igual a:

     [pic 39]

Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma: 

[pic 40] con [pic 41] y [pic 42] 

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo. 

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue: 

a.

El integrando contiene una función de la forma [pic 43] con [pic 44] 

Se hace el cambio de variable escribiendo 

[pic 45]donde [pic 46] 

Si [pic 47] entonces  [pic 48]

Además: [pic 49] 

[pic 50] pues [pic 51] y como 

[pic 52] entonces [pic 53] por lo que [pic 54] 

Luego: [pic 55] 

Como [pic 56] entonces [pic 57] 

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente: 

[pic 58]