Las Tablas D,T,JI Y BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p

Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de interés es el número de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n

La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazo. Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1.

La binomial es una aproximación de la hipergeométrica

La distribución normal se aproxima a la binomial cuando np > 5

La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:

n = tamaño de muestra

x = Ocurrencias o número de defectivos

p = probabilidad o proporción defectiva

Con media y varianza:

Ejemplo: Se toma una muestra aleatoria de 10 unidades de un lote de una prena. Por experiencia se sabe que hay el 10% de partes defectivas. Encontrar la probabilidad de encontrar exactamente una parte defectiva (n = 10, x = 1, p = 0.1)

P(X=1)=10!/1!9! 〖(0.1)〗^1 〖(0.9)〗^9=38.74%

Ejemplo: Durante el mes pasado un proceso continuo promedió 6% de defectivos, al inicio de este mes se tomó una muestra de 300 unidades, encontrando 22 defectivos. ¿Cuál es el promedio de defectivos esperado y la variación a 3 sigmas?

P = x/n = 22 / 300 = 0.073 1- p =0.927 σ_p=√((p(1-p))/n)=√((0.073(0.927))/300)=0.015

P ± 3 S = 0.073 ± 0.045 = ( 0.028, 0.118)

Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía. Para comprobarlo se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).

Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5.

P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo.

USO DE EXCEL:

x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra.

En Fx Estadísticas seleccionar

=distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB:

Calc > Probability distributions > Binomial

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

EJERCICIOS

1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de 0.95. Se toman 20 paneles solares y se registró la vida útil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil?

c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor verdadero de P?

2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?.

3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan:

a) A lo sumo 6 se detengan por completo

b) Exactamente 6 se detengan por completo?

c) Al menos 6 se detengan por completo?

d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20 plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:

a) Menos que una planta?

b) Menos de dos plantas

c) Exactamente 3

d) Más de una

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a la Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas cuando n es grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson proporciona buenas aproximaciones cuando np <= 5.

Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6.

Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

Con media y varianza:

Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indemnizaciones y= 4 en un cierto año es:

El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel.

Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos = np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo:

Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas.

np = 20 *0.05 = 1.0

Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:

Ejemplo 3. Un proceso continuo tiene una 2 defectos en cada 100 m2 de tela ¿cuál es la probabilidad de que en 100 m2 de la muestra se encuentre exactamente 2 defectos?

P(X=2)=(μ^X e^(-μ))/x!=4/(2!e^2 )=0.27=27%

La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5.

La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el número de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el promedio por día.

Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom. Sem.

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