Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles

Distribuciones muestrales

Las muestras aleatorias obtenidas de una población son, por naturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma población tenga la misma media muestral o que sean completamente parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie su valor de una muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribución de todos los valores posibles de un estadístico. Tales distribuciones serán muy importantes en el estudio de la estadística inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harán usando estadísticas muestrales. Como el análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido.

Como los valores de un estadístico, tal como x, varían de una muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias.

La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral. En general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño.

Distribucion muestral de las medias de las muestras

Reflexion

• ¿Cómo es posible hacer una prediccion precisa sobre el éxito de una pasta de dientes de reciente desarrollo con base solo en los resultados de la muestra?
• ¿De que manera puede el departamento de control de calidad de una empresa que se dedica a la produccion masiva liberar un embarque de microprocesadores, con base en una muestra de solo diez unidades?
• ¿Cómo puede hacerse una prediccion precisa de una votacion presidencial con base en una muestra de solo 2000 votantes registrados, de una poblacion de casi 90 millones de votantes?

Para responder a estas preguntas, se examina la distribucion muestral de las medias de la muestra.

Al organizar las medias de todas las muestras posibles de un cierto tamaño en una distribucion de probabilidad, se obtiene una distribucion muestral de las medias de las muestras.

Ejemplo: el numero de unidades producidas por un obrero que trabaja de lunes a sabado en una fabrica que produce “latas” para refresco es la siguiente: 80,  80, 76, 70, 70 y 68. Suponga que estos numeros constituyen la poblacion de cual se desea tomar una muestra de tamaño 3.

1. Determine la media aritmetica de estos numeros
2. Determine la desviacion estandar de los numeros
3. Calcule el numero de muestras de tamaño 3
4. Liste cada una de las muestras
5. Calcule la media de cada una de las muestras
6. Encuentre la media de la distribucion de las medias de las muestras
7. Calcule la desviacion estandar de las medias de las muestras
8. Compare los resultados de los incisos a y f
9. Compare los resultados de los incisos b y g

Al desarrollar el ejercicio en el que calculamos la media de las medias, podemos observar en terminos generales que:

• La media de las medias de la muestra es igual a la media de la poblacion
• La dispersion de la distribucion de las medias de las muestra es menor a la dispersion en los valores de la poblacion
• La forma de la distribucion muestral de las medias de muestras y la forma de la distribucion de frecuencia de los valores de la poblacion es diferente. La distribucion de las medias de las muestras tiende a tener una forma de campana y a aproximarse a la distribucion de probabilidad normal.

En resumen se tomaron todas las muestras aleatorias posibles de una poblacion y para cada muestra se calculo un estadistico de muestra (media). Debido a que cada muestra posible tiene la misma posibilidad de ser seleccionada, se puede determinar la probabilidad de que la media obtenida tenga un valor comprendido en un rango.

Distribucion de probabilidad normal

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica. Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:     o           [pic 1][pic 2]

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