Las vigas o arcos

Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección transversal de las vigas. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de vigas y arcos:

La hipótesis de Navier-Euler-Bernouilli. En ella las secciones transversales al eje baricéntrico se consideran en primera aproximación indeformables y se mantienen perpendiculares al mismo (que se curva) tras la deformación.

La hipótesis de Timoshenko. En esta hipótesis se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje baricéntrico pasen a formar un ángulo con ese eje baricéntrico por efecto del esfuerzo cortante.

Teoría de Euler-Bernoulli[editar]

Viga en voladizo de sección cuadrada sometida a flexión recta simple, mediante una carga en el extremo libre. La animación muestra una simulación mediante el método de los elementos finitos, donde se observan tensiones crecientes cerca de la sección empotrada a medida que se incrementa la carga (y también la deflexión debida a ella).

La teoría de Euler-Bernoulli para el cálculo de vigas es la que se deriva de la hipótesis cinemática de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto máximo o altura de la sección transversal.

Para escribir las fórmulas de la teoría de Euler-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometría, una viga es de hecho un prisma mecánico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la sección transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas es curvilíneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de sección recta la tensión el caso de flexión compuesta esviada la tensión viene dada por la fórmula de Navier:

\sigma(x,y,z) = \frac{N_x(x)}{A} +\frac{zI_z-yI_{yz}}{I_zI_y-I_{yz}^2}M_y(x)

-\frac{yI_y-zI_{yz}}{I_zI_y-I_{yz}^2}M_z(x)

Donde:

I_y, I_z\; son los segundos momentos de área (momentos de inercia) según los ejes Y y Z.

I_{yz}\; es el momento de área mixto o producto de inercia según los ejes Z e Y.

M_y(x), M_z(x)\; son los momentos flectores según las direcciones Y y Z, que en general varíarán según la coordenada x.

N_x(x)\; es el esfuerzo axial a lo largo del eje.

Si la dirección de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuación anterior se simplifica notablemente. Además si se considera el caso de flexión simple no-desviada las tensiones según el eje son simplemente:

\sigma(x,y,z) = -\frac{yM_z(x)}{I_z}

Por otro lado, en este mismo caso de flexión simple no esviada, el campo de desplazamientos, en la hipótesis de Bernoulli, viene dada por la ecuación de la curva elástica:

\frac {d^2w(x)}{dx^2} = \frac {M_z(x)}{EI_z} \qquad \Rightarrow \qquad \frac {d^4w(x)}{dx^4} = \frac {q_L(x)}{EI_z}

Donde:

w(x)\, representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posición inicial sin cargas.

M_z(x)\, representa el momento flector a lo largo de la ordenada x.

I_z\, el segundo momento de inercia de la sección transversal.

E\, el módulo de elasticidad del material.

q_L(x)\, representa las cargas a lo largo del eje de la viga.

Teoría de Timoshenko[editar]

Esquema de deformación de una viga que ilustra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera θi y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir,

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