Leyes logicas proposicionales

LÓGICA

I. LEYES LOGICAS PROPOSICIONALES

Una forma proposicional es una ley lógica si y sólo si su interpretación correcta, se obtiene como resultado una verdad lógica.

Las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos y las principales son las siguientes:

1) Ley de Identidad: (Reflexividad)

Una proposición solo es idéntica a sí misma. Se expresa por:

p → p y p ↔ p

2) Ley de no contradicción:

Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez.

~ (p ˄ ~ p)

3) Ley del tercio excluido:

Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera posibilidad. Se expresa por:

p ˅ ~ p

También podemos encontrar otro tipo de leyes lógicas importantes que son:

4) Ley de Involución: (Doble negación)

Dos negaciones de igual alcance equivalen a una afirmación.

~ (~p) = p

5) La Idempotencia:

Una cadena de conjunciones o disyunciones de variable redundante se eliminan.

a) p ^ p = p

b) p v p = p

6) Leyes Conmutativas:

Si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas y bicondicionales se permutan sus respectivas componentes, sus equivalentes, sus equivalentes significan lo mismo.

a) p ^ q ≡ q ^ p

b) p v q ≡ q v p

c) p ↔ q ≡ q ↔ p

7) Leyes Asociativas:

Las leyes asociativas para a conjunción, disyunción y bicondicional establecen que si en un esquema hay más de una conjunción, disyunción y bicondicional, respectivamente, con igual alcance, ellas pueden agruparse indistintamente.

a) (p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r )

b) (p v q ) v r ≡ p v (q v r )

c) (p ↔ q ) ↔ r ≡ q ↔ p

8) Leyes Distributivas:

Esta ley consiste en distribuir una variable que está unida por una conjunción a un esquema de disyunción y exclusión.

 De la conjunción respecto a la disyunción: (p ∨ q) ∧ r ↔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

 De la disyunción respecto a la conjunción: (p ∧ q) ∨ r ↔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

9) Leyes de Morgan:

La negación de las preposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtiene cambiando la conjunción por la disyunción, o la disyunción por la conjunción y negando cada uno de los componentes.

¬ (p ˅ q) ≡ ¬ p ˄ ¬ q

¬ (p ˄ q) ≡ ¬ p ˅ ¬ q

Ejemplo:

a) “Es inadmisible que Carlos y Raúl sean puntuales” ……. ¬ (p ˄ q)

b) “Carlos no es puntual a menos que Raúl tampoco”…….. ¬ p ˅ ¬ q

Esto se simboliza: ¬ (p ˄ q) ≡ ¬ p ˅ ¬ q

10) Las leyes del Condicional:

Para identificar esta ley debemos identificar el antecedente y consecuente de la implicación, esta consiste en negar el antecedente y cambiar el implicador por el disyuntor incluyente.

a) p → q ≡ ¬ p ˅ q

b) ¬ (p → q) ≡ p ˄ ¬q

11) Leyes del Bicondicional:

Se puede expresar de dos maneras:

a) p ↔ q ≡ (p → q) ˄ (q → p)

b) p ↔ q ≡ (p ˄ q) ˅ (¬p ˄ ¬q)

12) Leyes de la Absorción:

a) p ˄ (p ˅ q) ≡ p

b) p ˄ (¬p ˅ q) ≡ p ˄ q

Las leyes a) y b) pertenecen a la absorción del esquema conjuntivo al disyuntivo. Uno de los miembros del esquema conjuntivo es el esquema absorbente (puede ser una variable o una cadena de disyunciones), y el otro miembro es el esquema que se absorbe (puede ser una disyunción o una cadena de disyunciones).

c) p ˅ (p ˄ q) ≡ p

d) p ˅ (¬p ˄ q) ≡ p ˅ q

Las leyes c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjuntivo. A diferencia de a) y b) el esquema absorbente es una variable o cadena de disyunciones y el esquema que se absorbe es una conjunción.

13) Ley de transposición:

a) p → q ≡ ¬q → ¬ p

b) p ↔ q ≡ (¬q ↔ ¬p )

Los miembros de una condicional y bicondicional pueden ser transpuestos si se niegan cada uno de ellos.

14) Ley de exportación:

Es una equivalencia de condicionales cuyos antecedentes alteran su composición. El antecedente del primer miembro que es una conjunción, se transforma en una variable y el consecuente que es una variable se transforma en una condicional.

a) (p ˄ q) → r ≡ p → (q → r)

Esta es una ley infinitiva puede ser aplicada a un indeterminado número de variables.

II. APLICACIONES DE LAS LEYES LÓGICAS EN LA SIMPLIFICACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES

III. LÓGICA DE CLASES

Definición

La lógica de clases considera la proposición considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo a una determinada clase. Es la interpretación de una proposición o enunciado lingüístico bajo la formalización de la teoría de conjuntos o Diagramas de Venn.

Clase: un conjunto de individuos que tienen una propiedad común.

La propiedad define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lógica de predicados. En este caso, por tanto, el valor de verdad viene dado por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello, la tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

Determinación de clases

Cantidad de cosas finitas o infinitas (elementos) tomados en su integridad y discriminados de acuerdo con determinados signos (atributos, cualidades, características, rasgos) comunes.

Reunión, conjunto de objetos que tienen una característica común. Estas características pueden ser:

1) Homogéneos: Los estudiantes de la USAT.

Heterogéneos: Útiles de escritorio

2) Esencial: Animales capaz de trabajo y habla.

No esencial: Alumnos del 1,70 m de talla

3) Material: Pizarra, silla, mesa

Ideal: Ciencias Sociales, ideología religiosa, ideas bellas.

Es usual representar una clase mediante letras: A, B, C, D, etc.

IV. LÓGICA DE CLASES

Clases especiales:

1. Clase Universal: El número de objetos o elementos

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