Limites

Resolver los dos ejercicios que se plantean a continuación, escribiendo el procedimiento completo y de manera clara.

Para la función $$\int$$, cuya grafica se muestra, determine:

a. Existe $$\int (2)$$? si existe,Cual es la imagen?

b. Cuál es el dominio de esta función?

c. La función $$\int$$ es continua es $$x = 2$$? Justifique

d. Calcular $$\lim_{x\to4} \int(X)=$$

e. Calcular $$\lim_{x\to6} \int(X)=$$

2. Halle la ecuación de la recta tangente de la gráfica de la función $$\int (x)=2x+ln(x^{2})$$ que sea perpendicular a la recta cuya ecuación es $$y=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}x$$

SOLUCIÓN

Para la función $$\int$$ , cuya grafica se muestra, determine:

a. Existe $$\int (2)$$? si existe,Cual es la imagen?

En este punto buscamos en la imagen en $$\int (2)$$ hacia la derecha y hacia la izquierda.

Y encontramos que la $$\int (2)=4$$

Por lo que decimos que por derecha se encuentra y es 4.

b. Cuál es el dominio de esta función?

Recordemos que el dominio son los valores expresados en $$x$$.

Por lo tanto $$D\int (x)=\left [ 0;9\right )$$

c. La función $$\int$$ es continua es $$x = 2$$? Justifique

Debemos hallar los limites por derecha y por izquierda junto con la $$\int$$

$$\lim_{x\to2^{+}} \int(X)= 5$$

$$\lim_{x\to2^{-}} \int(X)= 4$$

$$\int (2)=4$$

En este caso es una discontinuidad ya que no existe un limite, puesto que los limites laterales son diferentes.

d. Calcular $$\lim_{x\to4} \int(X)=$$

$$\lim_{x\to4^{+}} \int(X)= -3$$

$$\lim_{x\to4^{-}} \int(X)= 5$$

No existe Limite

e. Calcular $$\lim_{x\to6} \int(X)=$$

$$\lim_{x\to6^{+}} \int(X)= -5$$

$$\lim_{x\to6^{-}} \int(X)= -5$$

Por lo tanto existe un limite ya que son iguales; por lo que existe continuidad cuando $$\lim_{x\to6}$$

2. Halle la ecuación de la recta tangente de la gráfica de la función $$\int (x)=2x+ln(x^{2})$$ que sea perpendicular a la recta cuya ecuación es $$y=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}x$$

Lo promero que debemos hacer es la derivada de la funcion $$\int (x)=2x+ln(x^{2})$$

$$\frac{d}{dx}2x+ln(x^{2})$$

En este caso apartamos los numero de el logaritmo

$$\frac{d}{dx}2x$$ $$+$$ $$\frac{d}{dx}ln(x^{2})$$

Por norma general de saca el exponente de $$ln(x^{2})$$ y sale a multiplicar

la formulara quedaria de la siguiente forma:

$$2\frac{d}{dx}x$$ $$+$$ $$\frac{d}{dx}2ln(x)$$

resolviendo

$$=(2*1)+2\frac{d}{dx}ln(x)$$

$$=(2)+(2\frac{1}{x})$$

$$=2+\frac{2}{x}$$

por lo tanto

$$\int (x)=2x+ln(x^{2})=2+\frac{2}{x}$$

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