LIMITES

Los Límites:

Definiciones:

- Definición de límite de una función en un punto: Se dice que la función f converge a L en , y se escribe , cuando a valores x próximos a los correspondientes valores de f(x) están próximos a L.

- Definición de límites laterales de una función en un punto: Se dice que la función f converge por la derecha (izquierda) a L en , y se escribe ( ), cuando a valores x próximos a con ( ) los correspondientes valores de f(x) están próximos a L.

Proposición:

Por lo tanto para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites laterales y ser iguales.

Propiedades de los límites: Sean f y g dos funciones tales que y , entonces:

Ahora bien a la hora de calcular un límite nos aparecen expresiones que se conocen por inderteminaciones, pues a priori no podemos saber su valor. Para conocerlos debemos resolver la indeterminación. Existen los siguientes tipos de indeterminaciones, aunque mediante algunas operaciones podemos transformar todas a las dos primeras:

Así lo que debemos saber resolver son las indeterminaciones . Para ello utilizamos lo que se conoce como Regla de L’Hôpital que dice:

Si , es decir para resolver el límite derivamos en numerador, derivamos el denominador y calculamos el límite del nuevo conciente.

Ej.:

REGLAS BÁSICAS PARA DETERMINAR LOS LÍMITES

1) LIMITE EN UN PUNTO.

a)Límite finito:

Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a,y se representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, ).)

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición). .

c) Límite por la izquierda:

d) Límite por la derecha:

2) PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.

a) siempre que no aparezca la indeterminación .

b) con .

c) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

d) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

e) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

Otra explicación.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f,

...