Linealizacion De Funciones

Linealizaci´on de Funciones No Lineales

Antonio Flores T. ∗

January 29, 2009

”Computers are incredibly fast, accurate, and stupid; humans are incredibly

slow, inaccurate and brilliant; together they are powerful beyond imagina¬

tion.” Albert Einstein.

1 Introducci´on

Una gran parte de la teor´ıa desarrollada para el dise˜no de sistemas de control emplea modelos matem´aticos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sin embargo, la inmensa mayor´ıa de sistemas en procesos qu´ımicos exhibe conducta no lineal. Ejemplo de sistema altamente no lineal lo constituye el campo de reactores qu´ımicos a´un para reacciones muy simples.

Entonces planteamos la siguiente pregunta: C´omo podemos emplear teor´ıa de control lineal para el control de sistemas no lineales ? Una forma simple de responder a esta pregunta es: empleando alg´una de forma de transformar el sistema no lineal en uno lineal. De esta forma el modelo ”linealizado” puede ser empleado para el dise˜no del

empezamos derivando el modelo (muy probablemente) no lineal del proceso que de-seamos controlar. A continuaci´on lo transformamos en un modelo lineal (el proced¬imiento de transformaci´on ser´a explicado en esta parte). Posteriormente dise˜namos el sistema de control para el modelo linealizado. Finalmente el sistema de control se prueba ya sea empleando el modelo lineal, o bien, el modelo no lineal original.

En esta parte mostramos la manera mediante la cual una funci´on no lineal f(x, u) puede ser representada aproximadamente por una funci´on lineal alrededor de un cierto punto xs (normalmente un estado estacionario del proceso).

∗E-mail: antonio.flores@uia.mx, http://kaos.dci.uia.mx/aflores, phone/fax: (+52)5 2674279

2 Qu´e es una funci´on lineal ?

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a trav´es de alguna funci´on f(·) de manera tal que

y = f(x) (2.1)

decimos que la relaci´on entre las variables y y x es lineal si la funci´on f(·) es la ecuaci´on de la l´ınea recta,

y = mx + b (2.2)

donde m representa la pendiente y b es la intersepci´on al origen. En este caso, es claro que

f(x)= mx + b (2.3)

En algunos casos la variable y puede depender de m´as de una variable x1,...,xn

y = f(x1,...,xn) (2.4)

si la relaci´on entre y y x es lineal entonces

y = m1x1 + ... + mnxn (2.5)

o bien

ny = � mixi (2.6) i=1

donde

nf(x)= � mixi (2.7) i=1

Definici´on 1 : Funci´on Lineal. La funci´on f(x) es lineal cuando est´a dada exacta¬mente por la ecuaci´on 2.7.

N´otese que la unica diferencia entre las ecuaciones 2.3 y 2.7 es que en la ecuaci´

´on

2.3 f(·) depende de una variable x, mientras que en la ecuaci´on 2.7 f(·) depende de n variables x1,...,xn.

3 Qu´e es una funci´on no lineal ?

Debemos notar que en practicamente todos los procesos qu´ımicos la funci´on f(·) es no-lineal. Esto significa que si la variable y depende de la variable x, y si la relaci´on entre ambas variables es no-lineal, entonces f(·) no puede representarse en t´erminos de la ecuaci´on 2.7.

Como otro ejemplo de una funci´on no lineal considere la ecuaci´on de Antoine,

T +C

P o = e A− B (3.12)

que representa la presi´on de vapor P o de compuestos puros como funci´on de la tem-peratura T . En la gr´afica 1 se muestra le curva de presi´on de vapor para el agua, de esta gr´afica es f´acil observar que la relaci´on entre P o y T es no lineal.

Figura 1: Presi´on de vapor del agua como funci´on de la temperatura; A =18.3036,B=3816.44,C=-46.13. T est´a en oKy P o en mmHg.

4 Significado de la linealizaci´on

Linealizar una funci´on no lineal f(x, u) significa reemplazarla por otra funci´on lineal ¯

f(x, u). Si las dos funciones representan b´asicamente el mismo proceso, para qu´e sirve representar una funci´on no lineal por otra lineal ?

la linea continua representa la funci´on no lineal f(x, u). El c´ırculo negro es el punto (xs,us) alrededor del cual se realiza la linealizaci´on de la funci´on no lineal. Como se observa, la aproximaci´on (o linealizaci´on) s´olo es v´alida en el interior de una regi´on, denotada por el c´ırculo externo. En t´erminos generales no podemos decir de que tama˜no es la regi´on donde es v´alida la linealizaci´on; todo lo que podemos decir es que es peque˜na. La linea discontinua representa la funci´on linealizada.

Es com´un referirnos al proceso de linealizaci´on como un proceso local. Lo que esto significa es que la linealizaci´on s´olo es v´alida en un punto (alrededor del cual se realiz´o la linealizaci´on) y no en todo en el int´ervalo de definici´on de la funci´on f(x, u).

5 Procedimiento de linealizaci´on

5.1 Caso univariable

Supongamos que tenemos un sistema din´amico no lineal el cual consiste de una variable de entrada (u) y de un variable de salida (x) representado por la siguiente ecuaci´on,

dx

= f(x, u) (5.13)

dt

y que deseamos aproximar la conducta de este sistema no lineal por la de un sistema lineal alrededor de un punto xs el cual es un estado estacionario del sistema represen¬tado por la ecuaci´on anterior. Expandiendo el lado derecho de la ecuaci´on 5.13 (el cual contiene el t´ermino no lineal) en series de Taylor hasta la primera derivada,

s �∂f ��∂f �

f(x, u) ≈ f(x ,u s)+ (x − x s)+ (u − u s)+ T.O.S. (5.14)

∂x ∂u

xs,us xs,us

donde T.O.S. representa los t´erminos de orden superior en la expansi´on de Taylor. Dado que la expansi´on se realiza alrededor del estado estacionario (xs,us) esto significa que la ecuaci´on 5.13 se puede reescribir como, dx

s

s

= f(x ,u s) = 0 (5.15)

dt

entonces en virtud de que xs es constante el lado izquierdo de la ecuaci´on 5.13 puede reescribirse como:

dx d(x − xs) dx¯

= = (5.16)

dt dt dt

donde, x¯= x − x s (5.17)

representa el alejamiento o desviaci´on de la variable x del estado estacionario xs . Es bastante com´un emplear variables de desviaci´on cuando se analiza la conducta de sistemas lineales. En t´erminos de variables de desviaci´on la ecuaci´on original a linealizar (ec. 5.13) se reescribe como:

dx¯

= f(x, u) (5.18)

dt sustituyendo f(x, u) obtenida de la expasi´on de Taylor (ec. 5.14) en la ecuaci´on anterior (y recordando que f(xs,us) = 0),

dx¯�∂f ��∂f

...