Los triples productos

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma no tiene mucho sentido porque el resultado de el primer producto es un escalar

y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.

Sin embargo, cuando los vectores son elementos de , podemos combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva operación entre tres vectores que se denomina triple producto escalar pues el resultado será una cantidad escalar. Es importante indicar escalar para diferenciarlo del triple producto vectorial que se obtiene al multiplicar tres vectores usando únicamente el producto cruz y cuyo resultado es, por tanto, un vector.

El triple producto escalar de los vectores se denota por y está definido como

Cálculo del triple producto escalar

Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del triple producto escalar a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz:

en donde hemos usado que

y .

Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo de un determinante, esto es:

Interpretación geométrica

La similitud que existe entre las fórmulas de determinantes para calcular el producto cruz y el triple producto escalar tienen su paralelo en el siguiente teorema:

Si son vectores tridimensionales, entonces es igual al volumen del paralelepípedo definido por

Paralelepípedo determinado por tres vectores

Así, la norma de un producto cruz representa el valor de un área, mientras que la norma de un triple producto escalar representa un volumen.

La demostración procede observando que

donde es el ángulo entre los dos vectores y .

Diagrama para demostrar la interpretación geométrica.

Por otro lado corresponde al área del paralelogramo que forman los vectores y es el ángulo entre ellos.

Así, reordenando los factores el producto tenemos:

donde es la altura del paralelogramo, como indica la figura, es el área del paralelogramo de la base y es el volumen del paralelepípedo.

La intepretación geométrica anterior proporciona un tercer criterio geométrico de estilo similar a los señalados para los otros productos.

Tres vectores son coplanares si y sólo si

.

Lo anterior se sigue de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que los definen están en un mismo plano (y por tanto tendrá altura cero).

Relaciones cíclicas

A partir de la fórmula de determinante podemos obtener

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