MENORES Y COFACTORES

MENORES Y COFACTORES.

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

Ejemplo 1.

Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de .

Para M13 eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener

De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener

Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, esto es

(1)

Ejemplo 2.

Obtenga los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:

De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A13 está dado por

Y de la misma forma

Expansión por cofactores de un determinante.

Se puede probar el siguiente

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es

(2)

es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente

(3)

es el desarrollo del determinante D por la columna k.

Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.

Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.

Entonces

Ejemplo 4.

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del ejemplo 3 para verificar

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