Matrices Elementales

MATRICES ELEMENTALES

Definición 1:

Sobre una matriz decimos que efectuamos una operación elemental sobre la fila o columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones:

i) Cambiar entre sí dos filas o columnas

Notación. =Cambiar la fila i, por la fila j;

=Cambiar la columna i, por la columna j

ii) Multiplicar una fila o columna por un número real

Notación. =Multiplicar cada elemento de la fila i, por k;

=Multiplicar cada elemento de la columna i, por k.

iii) Sumar a la fila o columna i, la fila o columna j, multiplicada por un número real, diferente de cero.

Notación. =Sumar a la fila i, la fila j multiplicada por k;

=Sumar a la columna i, la columna j multiplicada por k.

Definición 2:

Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.

Ejemplo.

Cambiar dos filas

Multiplicar la 2afila por

Sumar a la 3a fila, la segunda multiplicada por -4

Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.

PROPIEDAD. Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz que obtenemos esF A, donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental.

Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental.

Ejemplo Sea

Por filas: =FA

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

Producto de F.A:

Por columnas:

= CA

Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

Producto de A.C

= CA

OPERACIONES ELEMENTALES INVERSAS.

Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de cada operación elemental.

Ejemplo.

Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones elementales:

Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las operaciones anteriores y volvemos al punto de partida ósea a

Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer término.

Resumiendo:

OPERACIÇON ELEMENTAL OPERACIÓN INVERSA

Cambiar la fila i por la j Cambiar la fila j por la i

Multiplicar una fila por

Multiplicar una fila por

Sumar a la fila i, la j por

Sumar a la fila i, la j por

Matrices elementales inversas

Cuando en la matriz efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz elemental E.

Cuando en la matriz efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz elemental inversa de la matriz elemental .

Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.

En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida , luego se verifica:

Luego es la inversa de .

Ejemplo 6

Hallar las matrices inversas.

i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13

ii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental

iii) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental

MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS

Partiendo de una matriz A llegamos a otra B efectuando un número finito de operaciones elementales sobre las filas, de la misma manera, podemos volver a A desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y Bson equivalentes por filas.

En efecto: si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales

Multiplicando por las matrices inversas obtenemos

Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales:

Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos

Ejemplo

Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.

Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales

Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa

En efecto: si A es equivalente por filas a In:

Multiplicando por por la derecha los dos miembros obtenemos:

Luego viene como producto de matrices elementales.

El método para el cálculo de sale de observar y

Las operaciones elementales que nos sirven para convertir en la matriz unidad, efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de .

Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de

Solución

luego

FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ

Formas escalonada

Se llama forma escalonada por filas de una a aquella matriz que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales y que verifica:

i) Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.

ii) El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se llama elemento pivote y a su columna,

...