Metodo De Cholesky

Método De Cholesky

Este método consiste en la factorización de la matriz de coeficientes del sistema en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior T de tal manera que:

La ecuación original

Ax=b -------- (1)

Se puede escribir como Ax-b=0 ---- (2)

Si A= LT -------- (3)

Dónde:

L=Matriz Triangular Inferior

T= Matriz Triangular superior con diagonal unitaria

Sust. (3) en (2)

LTx – b = 0 ------ (4)

Además b puede factorizarse como

b = Lk -------- (5)

Sust. (5) en (4)

LTx – Lk = 0

L(Tx-k) = 0 --------(6)

De (5) se puede determinar k con

K=lb

De (6) como L≠0, entonces

Tx=k

De donde puede obtenerse la solución

X= Tk

El problema se reduce a encontrar la matriz L y T, es decir, Factorizar la matriz A

Igualando las ecuaciones (2) y (6)

Ax – b = L(Tx – k) ------- (7)

Y escribiendo en forma de matriz aumentada:

[A|B] = [l] [T|k] ----------- (8)

Consideremos un caso particular de orden: 4x4

a11 a12 a13 a14 a15 l11 0 0 0 ---- 1 t12 t13 t14 | a11

a21 a22 a23 a24 a25 = l11 l22 0 0 ---- 0 1 t23 t24 | a11

a31 a32 a33 a14 a35 l11 l31 l33 0 ---- 0 0 1 t34 | a11

a41 a42 a43 a41 a45 l41 l42 l43 l44 ---- 0 0 0 1 | a11

Efectuando el Producto a la derecha De la igualdad

a11 = l11 a12 = l11 t12 a13 = l11 t13

a21 = l21 a22 = l21 t12 + l22 a23 = l21 t13 + l22 t23

a31 = l31 a32 = l31 t12 + l32 a33 = l31 t13 + l32 t23 + l33

a41 = l41 a42 = l41 t12 + l42 a43 = l41 t13 + l42 t23 + l43

a14 = l11 t14 a15 = l11 t15

a24 = l21 t14 + l22 t24 a25 = l21 t15 + l22 t25

a34 = l31 t14 + l32 t24 + l33 t34 a35 = l31 t15 + l32 t25 + l33 t35

a44 = l41 t14 + l42 t24 + l43 t34 + l44 a45 = l41 t15 + l45 t25 + l43 t35 + l44 t45

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