Metodo cholesky

METODO DE CHOLESKY

En matemáticas, la factorización o descomposición de cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangula inferior y la transpuesta de de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. el resultado de Cholesky a sido extendido a matrices con entradas complejas. es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la FACTORIZACIÓN LU, con una pequeña variación.

Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz superior U; esto recibe el nombre de factorización LU .

Sin embargo,   si A es simétrica y definida positiva, se pueden escoger los factores tale que U es la transpuesta de L, y esto se llama la descomposición o factorización de Cholesky. Tanto la descomposición o factorización de cholesky. Tanto la descomposición LU como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. cuando se aplica la descomposición de Cholesky es dos veces mes eficiente que la descomposición LU.    

Ejemplo:

Aplique el método de Cholesky y determine el valor de cada una de sus incógnitas.

2x – 6y – z = -38

-3x – y + 7z = -34

-8x + y – 2z = -20

Separamos la matriz de coeficientes de A y la matriz de términos independientes de B

                         2    -6     -1                     -38  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

                                                              A =        -3   -1      7           B =   -34

                         -8     1    -2                   -20

Descomposición de la matriz de coeficiente de A con la expresión: LU = A

  1      0       0             U11        U12         U13            a11      a12     a13[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

                                 L21    1        0               0         U22         U23      =    a21       a22    a23

                                 L31    L32     1                0            0          U33           a31       a32     a33

                              1      0       0             U11        U12      U13                    2       -6      -1[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

                             L21    1        0               0            U22      U23        =      -3       -1      7

                             L31    L32     1               0             0          U33              -8       1       -2

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