Metodo De Diferencias Finitas

• Método de diferencias finitas

En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es un método utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Ejemplo nº1:

Determine la salida del sistema descrito por la siguiente ecuación en diferencia finita y(n) -A y(n-1) = B x(n) + C x(n-1) para x(n)= 2 Sen nπ/2

Solución:

a) Se resuelve la homogénea

y(n) - Ay(n-1)=0 Tiene como raíz única r=A. Esto produce una solución del tipo:

b) Se resuelve la particular para x(n) =2Sen nπ/2

c) La salida definitiva será:

y(n) = yh(n) + yp(n) + (C/B) yp(n-1)

Las constantes se obtienen de las condiciones iniciales y de la condición particular de laexcitación.

Ejemplo nº2:

Ejercicio: Encuentre la respuesta impulsiva del sistema descrito por la siguiente ecuación en

diferencias finitas:

y(n) - A y(n-1) = B x(n)

Solución:

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, bastaría encontrar la solución a la

homogénea y luego sumarle la particular debida a la señal x(n) =δ(n). Pero una señal como

la delta discreta que solo existe en n=0 no aportará nada a la solución total. En definitiva se

determina la solución a la homogénea y luego se calculan las constantes necesarias en base a

condiciones iniciales que por cierto deben ser todas nulas. Así, para el ejemplo propuesto

quedaría:

y(n) - Ay(n-1)=0 Tiene como raíz única r=A. Esto produce una solución del tipo:

Para el orden de esta ecuación basta saber que y (-1)=0. Por lo tanto (de la ecuación original)

y(0) = Bδ(0) = B = K. Resultando entonces que K=B

La solución final queda entonces:

...