El uso del método, llamado de diferencias finitas para el cálculo de continuo el camino de la órbita en pasos discretos

Supongamos que estamos en la base de lanzamiento de la Guayana francesa (muy cerca del ecuador terrestre) y lancemos un cohete con determinada velocidad inicial. Por supuesto, esto no es como un proyectil, pues al principio (gracias a la aceleración de los motores) podemos controlar la velocidad y la dirección. Pero después de un determinado tiempo, la trayectoria de la nave estará determinada principalmente por la velocidad y la dirección que tendrá cuando el cohete ha agotado el combustible y sólo pequeñas correcciones podrán hacerse con los motores auxiliares (ver más detalles sobre órbitas de transferencia). Vamos a escoger la referencia del centro de la Tierra para hacer el cálculo de la posición del cohete y etiquetemos todas las magnitudes según se indica en la figura 26

Figura 26

La ley de gravitación nos dice que la aceleración a la que está sometida la nave está dada por

y apunta en dirección hacia el centro de la Tierra. Hagamos una triquiñuela haciendo que el producto G·M sea igual a 1. Eso significa que por ejemplo las distancias que hallemos estarán dadas en megametros (1 millón de metros) y el tiempo en unidades de 50 segundos que denominaremos casiminutos por razones obvias. El cómo han sido elegidas estas unidades lo dejo como ejercicio para el lector interesado. La aceleración podemos descomponerla, en una parte a lo largo de la dirección x y otra parte a lo largo de la dirección y de la siguiente manera:

El signo aparece para indicar que esta aceleración está dirigida hacia la izquierda en el primer caso, y hacia abajo en el segundo, pues nuestro convenio va a ser que todo lo que se dirija hacia la derecha y hacia arriba lleva signo positivo. Los factores x/r e y/r aparecen porque la proporción entre las componentes de la aceleración es la misma que la proporción entre los lados del triángulo que tiene por hipotenusa r y por lados x e y. De hecho, en cualquier instante se cumplirá el teorema de Pitágoras aplicado a dicho triángulo:

y lo mismo valdrá para la velocidad y para la aceleración

Vamos a intentar calcular una órbita para un satélite que adquiere una velocidad en la dirección horizontal vx = 0.4 megametros/casiminuto (equivalente a 8 km/s) desde una altura de 1620 km, es decir, que parte de la posición, digamos x = 0, y = 8 megametros (6380+1620 = 8000 km). La aceleración inicial en estas condiciones es

Veamos cómo calculamos lo que ocurre después de digamos 1 casiminuto, y supongamos que durante ese tiempo la aceleración no varía mucho.

Podemos calcular la velocidad media como la velocidad en la mitad del intervalo

vx (0.5) = vx(0) + gx t = 0.4 - 0.0 × 0.5 = 0.4

Vy(0.5) = vy(0) + gy t = 0.0

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