Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a)

4.1.1 serie Finita.

Finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución deecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

4.1.2 serie Infinita.

En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 − 4 + • • • es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

EJEMPLO 1:

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional 13 es en la realidad, una serie infinita.

310 +310 2 +3103 +k=1∞310k

* SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES

Para cada serie infinita ∑ ak existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +… +an

EJEMPLO 2 :

La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k es

S1 = 310

S2 = 310 + 3102

S3 = 310 + 3102 + 3103

Sn = 310 + 3102 + 3103 + 310n

En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximación a 13 y de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k

Esto conduce a la definición siguiente:

Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .

El numero S es la suma de las serie

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