Modelando Un Problema Con EDO

MODELOS LINEALES

El problema con valores iniciales

dx/dt=kx ; x(t_0 )=x_0

Donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con crecimiento o decrecimiento. En biología, la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos de tiempo es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t_0, la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro. La constante de proporcionalidad k en la ecuación se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t>t_0. En física y química la ecuación (1) se ve en forma de reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya razón, o velocidad, dx⁄dt es directamente proporcional a la cantidad x de una sustancia que no se ha convertido o que queda al tiempo t. La descomposición, o decrecimiento, de U-238 (uranio) por radioactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.

EJEMPLO 1 Crecimiento de bacterias

Inicialmente un cultivo tiene un número P_0 de bacterias. Al cabo de una hora se determina que el número de bacterias es 3/2 P_0. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

SOLUCIÓN

Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), en este caso quedaría expresada como:

dP/dt=kP

Con t_0=0 la condición inicial es P(0)=P_0. Entonces se usa la observación empírica de que P(1)= 3/2 P_0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observemos que la ecuación diferencial dP/dt=kP es a variables separables. Luego,

dP/dt=kP

1/P dP=kdt

⏟(∫▒〖1/P dP〗)┬ln|P| =⏟(∫▒kdt)┬kt

⇒ln|P|=kt+c_1

Despejando P:

e^ln|P| =e^kt ⏟(e^(c_1 ) )┬C ⇒P(t)=Ce^kt

En t=0 se tiene que P_0=C ⏟(e^(k.0) )┬1, por tanto P(t)=P_0 e^kt

En t=1 se tiene que 3/2 P_0=P_0 e^(k.1) por tanto e^k=3/2. Y despejando se obtiene k=ln 3/2≈0,4055

Entonces:

P(t)=P_0 e^(0,4055t)

Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de baterias, planteamos P(t)=3P_0 que equivale a

3P_0=P_0 e^0,4055t

3=e^0,4055t

ln3=lne^0,4055t

ln3=0,4055t

t=ln3/0,4055≈2,71

Ejemplo extraído de:

ZILL, DENNIS G. Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera. 7° Edición. Editorial: Cengage Learning, México 2009. Pág. 83

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