Modelo De Ramsey

APUNTES DE CLASE: MODELO DE RAMSEY ECONOMIA CERRADA CON GOBIERNO

Misael Anaya

EL GOBIERNO

El gobierno ingresa al modelo con la siguiente ecuación.

G+V= τ_w wL+τ_b r(activos)+τ_c C+τ_f (ganancia de las empresas)

Donde G es gasto, V son las transferencias directas a las familias,

τ_w: Tasa impositiva sobre el trabajo

τ_b: Tasa impositiva sobre los activos (bonos)

τ_c: Tasa impositiva sobre el consumo

τ_f: Tasa impositiva sobre la ganancia de las empresas

La ecuación anterior es la que equilibra el presupuesto del gobierno, es decir los egresos (Gasto en bienes y servicios, y transferencias a las familias) son iguales a los ingresos provenientes de los diferentes tributos.

LAS FAMILIAS NEOCLASICAS

Las familias neoclásicas maximizarán la siguiente función de utilidad vista en clases anteriores

U(.)=∫_0^∞▒〖e^(-(ρ-n)t) (〖c_t〗^(1-θ)/(1-θ))dt〗

La restricción será la ecuación de acumulación de activos financieros de las familias derivada de la restricción presupuestaria de las familias y con intervención del gobierno será la siguiente.

(B_t ) ̇= 〖(1-τ〗_w)wL_t+〖(1-τ〗_b)rB_t-(1+τ_c ) C_t+V_t

En términos per cápita la restricción es la siguiente:

(b_t ) ̇= 〖(1-τ〗_w)w+〖(1-τ〗_b)rb_t-(1+τ_c ) c_t-nb_t+v_t

Donde se acumula bonos provenientes del ahorro en ese momento del tiempo, y esto proviene de la diferencia entre los ingresos (del trabajo y los bonos) y el consumo sumado a las transferencias del gobierno.

La solución a este problema se encuentra desarrollando el problema de optimización dinámica.

Para ello planteamos el siguiente Hamiltoneano.

H(.)= e^(-(ρ-n)t) (〖c_t〗^(1-θ)/(1-θ))+λ_t [〖(1-τ〗_w)w+〖(1-τ〗_b)rb_t-(1+τ_c ) c_t-nb_t+v_t]

∂H(.)/∂c=0 □(→┴ ) (1-θ) e^(-(ρ-n)t) (〖c_t〗^(-θ)/(1-θ))-λ_t (1+τ_c )=0

e^(-(ρ-n)t) 〖c_t〗^(-θ)=λ_t (1+τ_c )

∂H(.)/∂b=-(λ_t ) ̇ □(→┴ ) λ_t [〖(1-τ〗_b)r-n]=-(λ_t ) ̇

〖(1-τ〗_b)r-n=(-(λ_t ) ̇)/λ_t

La tasa de crecimiento del consumo hallado de las condiciones de primer orden es la siguiente:

(c_t/c_t ) ̇=(1/θ).[〖(1-τ〗_b ).r-ρ]

Y la ecuación de transversalidad en su versión más sencilla será

lim┬(t→∞)⁡〖(λ_t.b_t)〗=0

Estas dos últimas ecuaciones, juntamente con la restricción de las familias son la solución al problema de horizonte infinito planteado.

LAS EMPRESAS NEOCLÁSICAS

Las empresas tienen la siguiente función de utilidad

Utilidad= F(K_t,L_t A_t )-wL_t-(r+δ)K_t

Ó

Utilidad= F(K_t,(L_t ) ̂ )-wL_t-rK_t-δK_t

De toda esta utilidad sólo la depreciación es deducible de impuestos, por lo tanto la base imponible será

base imponible= F(K_t,(L_t ) ̂ )-wL_t-δK_t

Los ingresos del gobierno por impuestos son

Impuestos=τ_f [F(K_t,(L_t ) ̂ )-wL_t-δK_t]

De esta forma la utilidad después de impuestos será la siguiente

π=(1-τ_f )[F(K_t,(L_t ) ̂ )-wL_t-δK_t]-rK_t

Reescribiendo esto en términos de unidad de trabajo eficiente se tiene:

π=(1-τ_f )[f((k_t ) ̂ ) (L_t ) ̂-w/A (L_t ) ̂-δ(k_t ) ̂(L_t ) ̂]-r(k_t ) ̂(L_t ) ̂

Las condiciones de primer orden son las siguientes

∂π/(∂K_t )=0 □(→┴ ) (1-τ_f )[∂f((k_t ) ̂ )/(∂(k_t ) ̂ ) (∂(k_t ) ̂)/(∂K_t ) (L_t ) ̂-δ (∂(k_t ) ̂)/(∂K_t ) (L_t ) ̂ ]-r (∂(k_t ) ̂)/(∂K_t ) (L_t ) ̂=0

Sabemos que (∂(k_t ) ̂)/(∂K_t )=(∂(K_t/L_t A_t))/∂K=1/(L_t A_t )=1/(L_t ) ̂ , reemplazando en la ecuación anterior y reordenando se tiene:

=(1-τ_f )[∂f((k_t ) ̂ )/(∂(k_t ) ̂ ) 1/(L_t ) ̂ (L_t ) ̂-δ 1/(L_t ) ̂ (L_t ) ̂ ]-r 1/(L_t ) ̂ (L_t ) ̂=0

=(1-τ_f )[f'((k_t ) ̂ )-δ]-r=0

f'((k_t ) ̂ )=r/((1-τ_f ) )+δ

∂π/(∂L_t )=0 □(→┴ ) (1-τ_f )[∂f((k_t ) ̂ )/(∂(k_t ) ̂ ) (∂(k_t ) ̂)/(∂L_t ) (L_t ) ̂+(∂(L_t ) ̂)/(∂L_t ) f((k_t ) ̂ )-w/A_t (∂(L_t ) ̂)/(∂L_t )-δ (∂(k_t ) ̂)/(∂L_t ) (L_t ) ̂-δ(k_t ) ̂ (∂(L_t ) ̂)/(∂L_t )]-r (∂(k_t ) ̂)/(∂L_t ) (L_t ) ̂-r(k_t ) ̂ (∂(L_t ) ̂)/(∂L_t )=0

Sabemos que (∂(k_t ) ̂)/(∂L_t )=(∂(K_t/L_t A_t))/(∂L_t )=-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ), y (∂(L_t ) ̂)/(∂L_t )=(∂(L_t A_t))/(∂L_t )=A_t, reemplazando en la ecuación anterior y reordenando se obtiene:

(1-τ_f )[∂f((k_t ) ̂ )/(∂(k_t ) ̂ )(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))(L_t ) ̂+A_t f((k_t ) ̂ )-w/A_t A_t-δ(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))(L_t ) ̂-δ(k_t ) ̂A_t ]-r(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))(L_t ) ̂-r(k_t ) ̂A_t=0

(1-τ_f )[f'((k_t ) ̂ )(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))A_t L_t+A_t f((k_t ) ̂ )-w-δ(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))A_t L_t-δ(k_t ) ̂A_t ]-r(-K_t/(A_t 〖L_t〗^2 ))A_t L_t-r(k_t ) ̂A_t=0

(1-τ_f )[-f'((k_t ) ̂ ) (k_t ) ̂A_t+A_t f((k_t ) ̂ )-w+δ(k_t ) ̂A_t-δ(k_t ) ̂A_t ]+r(k_t ) ̂A_t-r(k_t ) ̂A_t=0

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