Modelos De Defectos Aleatorios

MODELOS DE DEFECTOS ALEATORIOS

Visión general

Existen tres clases conceptuales de estos modelos:

El Modelo de efectos fijos asume que los datos provienen de poblaciones normales las cuales podrían diferir únicamente en sus medias. (Modelo I)

El Modelo de efectos aleatorios asume que los datos describen una jerarquía de diferentes poblaciones cuyas diferencias quedan restringidas por la jerarquía. Ejemplo: El experimentador ha aprendido y ha considerado en el experimento sólo tres de muchos más métodos posibles, el método de enseñanza es un factor aleatorio en el experimento. (Modelo II)

El Modelo de efectos mixtos describen situaciones que éste puede tomar. Ejemplo: Si el método de enseñanza es analizado como un factor que puede influir donde están presentes ambos tipos de factores: fijos y aleatorios. (Modelo III)

Supuestos previos

El ANOVA parte de algunos supuestos que han de cumplirse:

• La variable dependiente debe medirse al menos a nivel de intervalo.

• Independencia de las observaciones.

• La distribución de los residuales debe ser normal.

• Homocedasticidad: homogeneidad de las varianzas.

La técnica fundamental consiste en la separación de la suma de cuadrados (SS, 'sum of squares') en componentes relativos a los factores contemplados en el modelo. Como ejemplo, mostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de factores en diferentes niveles. (Si los niveles son cuantitativos y los efectos son lineales, puede resultar apropiado un análisis de regresión lineal)

El número de grados de libertad (gl) puede separarse de forma similar y corresponde con la forma en que la distribución chi-cuadrada (χ² o Ji-cuadrada) describe la suma de cuadrados asociada.

Modelo II o de efectos aleatorios

En este modelo se asume que las k muestras son muestras aleatorias de k situaciones distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado Yij se puede escribir como:

Donde m es la media global, eij son variables (una para cada muestra) distribuidas normalmente, con media 0 y varianza s2 (como en el modelo I) y Ai es una variable distribuida normalmente, independiente de las eij, con media 0 y varianza

La diferencia con respecto al modelo I es que en lugar de los efectos fijos ai ahora se consideran efectos aleatorios Ai.

Igual que en el modelo I se encuentra que MSE no se modifica en la H1 y que al valor esperado de MSA se le añade el término de componente añadida (que aquí es una verdadera varianza ya que Ai es una variable aleatoria):

Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre Ai y eij y es, por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso. En el ejemplo de las cobayas significaría que las variaciones de grasa en el hígado de cada cobaya son independientes de las variaciones entre cobayas. Esta asunción se violaría si, por ejemplo, en el animalario existieran 2 cepas genéticas tales que en una de ellas la concentración de grasa en las células hepáticas fuera mayor y más variable que en la otra.

Por tanto, en H0 tanto MSA como MSE estiman s2, mientras que en H1, MSE sigue estimando s2 y MSA estima . La existencia de esta componente añadida se contrasta con F= MSA/MSE y en caso afirmativo, la varianza de Ai se estima como:

Se considera que los efectos de un modelo eran especificados por el experimentador y sus niveles fijados en función de las características de los mismos. Los niveles de estos efectos (fijos) incluyen la totalidad de las posibilidades y se definen por el experimentador.

En los modelos de efectos aleatorios, los niveles de cada efecto son resultado de una selección al azar, es decir el experimentador, selecciona al azar “a” del total de niveles del factor: Por ejemplo, el efecto Hospital en la evaluación de un tratamiento puede incluir tres hospitales seleccionados al azar entre los hospitales de una determinada comunidad. Las conclusiones alcanzadas serán válidas respecto a la población completa de los niveles del factor.El modelo estadístico lineal es: yij=μ+τi+ϵij , i=1,2,….., a ,j=1,2,….., n

Se considera que los efectos de un modelo eran especificados por el experimentador y sus niveles fijados en función de las características de los mismos. Los niveles de estos efectos (fijos) incluyen la totalidad de las posibilidades y se definen por el experimentador.

En los modelos de efectos aleatorios, los niveles de cada efecto son resultado de una selección al azar, es decir el experimentador, selecciona al azar “a” del total de niveles del factor: Por ejemplo, el efecto Hospital en la evaluación de un tratamiento puede incluir tres hospitales seleccionados al azar entre los hospitales de una determinada comunidad. Las conclusiones alcanzadas serán válidas respecto a la población completa de los niveles del factor.El modelo estadístico lineal es: yij=μ+τi+ϵij , i=1,2,….., a ,j=1,2,….., n

yij: Es la j- ésima observación del i-ésimo tratamiento.

μ: Media global ,τi: Efecto del i- ésimo tratamiento,ϵij:

Error aleatorio.

Supuestos:ϵij ~NID0,σ2,τi~NID0,στ2 Además τi y ϵij son variables aleatorias independientes.

Vyij=στ2+σ2. στ2 y σ2 se llaman componentes de varianza.

SST=SSTratamientos(entre)+SSE(dentro)

la hipótesis a probar es: H0:στ2=0 (tratamientos =s)

H1:στ2>0(variabilidad entre tratamientos)

SSEσ2~χN-a2 y

SSTratamientosσ2~χa-12

F0=SSTratamientosσ2a-1SSEσ2N-a=SSTratamientosa-1SSEN-a=MSTratamientosMSE ~ F(a-1, N-a)

para mostrar que Fo es una estadística de prueba apropiada para la hipótesis planteada.

EMSTratamientos=E1a-1i=1aj=1nyi.-y..2=E1a-1(i=1ayi.2-Ny..2)

=Ei=1ayi.2n-y..2N

=1a-1E1ni=1a(j=1nμ+τi+ϵij)2-1N(i=1aj=1nμ+τi+ϵij)2

Reemplazamos los términos que involucra a τi2 por στ2, cuando E(τi)=0 y también j=1nϵij2 ,i=1aj=1nϵij2 y i=1aj=1nτi2 por nσ2,

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