Momento 3 Algebra

De la siguiente elipse 9x^2+3y^2=27 Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

9x^2+3y^2=27

Si dividimos entre 27

(y^2/9)+(x^2/3)=1

Nos queda la ecuación de una elipse vertical con centro en el origen de la forma:

y^2/a^2 +x^2/b^2 =1 

Donde:

(h,k) = centro = (0,0)

a = semi eje mayor = 3

b = semi eje menor = √3

la semidistancia focal c:

c = √(a^2-b^2 )=√(9-3)=√6

Los vértices

(h,k ± a) ⇒ (0,0 + 3) (0,0 - 3) ⇒ (0,3) (0,-3)

Los focos

(h,k ± c) ⇒ (0,0 + √6) (0,0 - √6) ⇒ (0,√6) (0,-√6)

5. Demostrar que la ecuación x^2+y^2+6x-2y-15=0 es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

b. Radio

Solución:

x^2+y^2+6x-2y-15=0

(x^2+6x)+(y^2-2y)=15

Completamos cuadrados:

(x^2+6x+9)+(y^2-2y+1)=15+9+1

(x+3)^2+(y-1)^2=25

h=3 k=1 r=25

c=(-3,1) r=5

6. De la siguiente parábola x^2+6x+4y+8=0. Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

● Organizamos la ecuación:

x² + 6x = - 4y - 8

● Completamos el trinomio:

x^2+ 6x + (b/2)^2= - 4y - 8 + (b/2)^2

x^2+ 6x + (6/2)^2= - 4y - 8 + (6/2)^2

x^2+ 6x + 3^2= - 4y - 8 + 3^2

x^2+ 6x + 9 = - 4y - 8 + 9

x^2+ 6x + 9 = - 4y + 1 , factorizamos...

Luego la ecuación canónica es: (x + 3)^2= -4(y - ¼)

De la forma: (x - h)^2= 4p(y - k)

● Vértice: (h,k)

- h = 3 ⇒ h = - 3

- k = - ¼ ⇒ k = ¼

V(-3,¼ )

● Foco: F(h,k + p)

⇒ 4p = - 4 ⇒ p = - 4/4⇒ p = -1

F[-3,¼ + (-1) ]

F(-3,¼ - 1)

F(-3,- ¾)

●Directriz:

L: y = k - p ⇒ y = ¼ - (-1) ⇒ y = ¼ + 1 ⇒ y = 5/4

...