Momento 6 De Algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

GRUPO: 301301_705

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO N°6.

ELABORADO POR

JULIAN DUQUE SALGADO

CODIGO: 79456736

LUIS FERNANDO CESPEDES

CODIGO: 79405412

JUAN CARLOS MORA

PRESENTADO A:

ALVARO ALBERTO HUERTAS CABRERA- (Tutor)

BOGOTA D.C. 03 DE MAYO DE 2015

INTRODUCCION

En el presente trabajo demostraremos la habilidad que se ha adquirido en el estudio de la unidad 3 del curso mediante la resolución de una serie de ejercicios y aplicando la herramienta GEOGEBRA, encontraremos solución a los ejercicios de ecuaciones de elipses, hipérbolas, parábolas, circunferencias, sumatorias y productorias, se ha hecho una descripción analítica sobre la resolución de cada ejercicio.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos

De la siguiente elipse 4x2 + y2 – 8x + 4y – 8 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

Hacemos la transformacion de la ecuacion general a la ecuacion particular.

Primero colocamos los terminos que contengan las mismas variables en el lado izquierdo la constante despejada asi:

(4x^2-8x)+(y^2+4y)=8

Factorizamos en cada grupo el coeficiente del termino al cuadrado asi:

4(x^2-2x)+(y^2+4y)=8

Ahora completamos un trinomio cuadrado perfecto asi:

4(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=8+4+4

Ahora factorizamos los dos paréntesis y reducimos términos semejantes al lado derecho

〖4(x-1)〗^2+(y+2)^2=16

Ahora tenemos que igualar la expresión a 1, para eso dividimos todo por la parte derecha

〖4(x-1)〗^2/16+(y+2)^2/16=16/16

Ahora procedemos a simplificar terminos

(x-1)^2/4+(y+2)^2/16=1

Y ya tenemos la ecuacion particular

Ahora reemplazamos las constantes

a^2=4→a=2

b^2=16→b=4

h=1

k=-2

El centro es igual a c=(h,k)

∴ Centro c=(1,-2)

Ahora conseguimos el valor constante de c

c= √(b^2-a^2 )=√(16-4)=√12=3,46

En las coordenadas de los vertices si el valor de a=2 este representa la distancia del centro a los vertices, a partir del centro se deven contar 2 unidades a la izquierda y 2 unidades a la derecha entonces:

v_1=(1-2 ,-2)=(1,-2)

v_2=(1+2 ,-2)=(3,-2)

v_3=(1,-2+4)=(1,2)

v_4=(1,-2-4)=(1,-6)

∴ Vertices

v_1=(1,-2)

v_2=(3,-2)

v_3=(1,2)

v_4=(1,-6)

Ahora establecemos las coordenadas de los focos de la misma forma anterior pero no utilizamos a sino el valor de c que es 3,46 y quedaria asi:

f_1=(1,-2-3.46)=(1,-5.46)

f_2=(1,-2+3.46)=(1,1.46)

∴ Focos

f_1=(1,-5.46)

f_2=(1,1.46)

Comprobando con GEOGEBRA

Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Trazamos en el plano carteciano la recta que comprende entre el vertica 1 y el vertice 2 esto nos da la longitud mayor y contamos las unidades que tiene.

Entonces de i a 9 hay 8 unidades, por consiguiente

8=6a

a=8/6=a=1.33

b=6

Ahora hayamos las coordenadas del centro ayando el punto medio entre los dos vertices asi:

m=(x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2 Reemplazando tenemos

m=(3+3)/2,(1+9)/2=6/2,10/2=3 ,5

c=(3 ,5) c=(h,k)

La ecuacion de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje y y su centro no coincide con el origen y como el eje mayor es paralelo al eje vertical es:

(x-h)^2/b^2 -(y-k)^2/a^2 =1

Reemplazando tenemos

∴ La ecuación canónica es: (x-3)^2/36-(y-5)^2/1.76=1

Comprobando con GEOGEBRA

De la siguiente hipérbola 4x2 – 9y2 – 16x – 18y – 29 = 0. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

Hacemos la transformacion de la ecuacion general a la ecuacion particular.

Primero colocamos los terminos que contengan las mismas variables en el lado izquierdo la constante despejada asi:

(4x^2-16x)-(〖9y〗^2+18y)=29

Factorizamos en cada grupo el coeficiente del termino al cuadrado asi:

4(x^2-4x)-9(y^2+2y)=29

Ahora completamos un trinomio cuadrado perfecto asi:

4(x^2-4x+4)-9(y^2+2y+1)=29+16-9

Ahora factorizamos los dos parentesis y reducimos terminos semejantes al lado derecho

〖4(x-2)〗^2-9(y+1)^2=36

Ahora tenemos que igualar la expresion a 1, para eso dividimos todo por la parte derecha

〖4(x-2)〗^2/36-(9(y+1)^2)/36=36/36

Ahora procedemos a simplificar terminos

(x-2)^2/9-(y+1)^2/4=1

Y ya tenemos la ecuacion particular y la representamos asi:

(x-h)^2/a^2 -(y-k)^2/b^2 =1

Ahora reemplazamos las constantes

a^2=9→a=3

b^2=4→b=2

h=2

k=-1

El centro es igual a c=(h,k)

∴ Centro c=(2,-1)

Ahora conseguimos el valor constante de c

c^2= a^2+b^2=c^2= 9+4=c^2= 13=c=3.60

En las coordenadas de los vertices si el valor de a=3 este representa la distancia del centro a los vertices, a partir del centro se deven contar 3unidades a la izquierda y 3 unidades a la derecha entonces:

v_1=(2-3 ,-1)=(-1,-1)

v_2=(2+3 ,-1)=(5,-1)

∴ Vertices

v_1=(-1,-1)

v_2=(5,-1)

Ahora establecemos las coordenadas de los focos de la misma forma anterior pero no utilizamos a sino el valor de c que es 3,60 y quedaria asi:

f_1=(2-3.60,-1)=(-1.60,-1)

f_2=(2+3.60,-1)=(5.60,-1)

∴ Focos

f_1=(-1.60,-1)

f_2=(5.60,-1)

Comprobando con GEOGEBRA

Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).

Teniendo los vertices procedemos a haya el centro

c=((1+1)/2 ,(11+(-15))/2)=c=(2/2 ,(-4)/2)

c=(1 ,-2)

...