Algebra Lineal Actividad 6

Dados los siguientes vectores dados en forma polar

|U|=5;θ=135 ° |V|=3;θ=60 °

Realice analíticamente, las operaciones siguientes

2u ⃗+v ⃗

v ⃗-u ⃗

3v ⃗-4u ⃗A

Primero vamos a convertir a coordenadas cartesianas a |u| y a |v|

sea u ⃗=(x_1,y_1 ) Entonces:

x_(1 )=5 cos⁡(135°)=-5 √(2⁄2)

y_(1 )=5 sin⁡〖135°〗=5 √( 2⁄2 )

sea v ⃗=(x_2, y_2 ) Entonces:

x_2=3 cos⁡(60°)=3/2

y_(2 )=3 sin⁡〖60°〗=3 √( 3⁄2)

Ahora si desarrollemos

2u ⃗+v ⃗

2 (-5 √( 2⁄2),5 √(2⁄2 ))+(3/2,3 √( 3⁄2) )

=(-5√(2,) 5√2)+(3/2,3 √( 3⁄2))

=((-10√2+3)/2),((10√2+3√3)/2)

1.2. v ⃗-u ⃗

(3/2,3 √( 3⁄2))- (-5 √( 2⁄2),5 √(2⁄2 ))

((3+5√2)/2),((3√3+√2)/2)

1.3 3v ⃗-4u ⃗A

3 (3⁄2,3 √( 3⁄2),)-4(-5 √( 2⁄2), 5√(2⁄2) )

=(6/2,9 √(3⁄2))-(-10 √( 2 ), 10√2 )

=(6+20 √(2⁄2), 9√3 -20√(2⁄2))

Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

2.1 u ⃗=2i ̂+9j ̂ y v ⃗=-10i ̂-4j ̂

U.V=(2.9) (-10,-4)

U.V=(2) (-10)+ (9)(-4)

U.V= -20-36

U.V= -56

|U|=√((2)^2+(9)^2 )

|U|=√(4+81)

|U|=√85

|V|=√((-10)^2+ (-4)^2 )

|V|=√(100+16)

|V|=√116

Ahora se determina el Angulo

cos⁡θ=(U:V)/|U||V|

cos⁡θ=(-56)/√(85.√116)

cos⁡θ=(-56)/√9860

θ=Cos^(-1)⁡((-56)/√9860)

θ=124.33°

2.2 W ⃗=-2i ̂-3j ̂ y U ⃗=-7i ̂-5j ̂

W.U=(-2.-9) (-7,-5)

W:U=(-2) (-7)+ (-3)(-5)

W:U=14+15

W:U=29

|W|=√((2)^2+(-3)^2 )

|W|=√(4+9)

|W|=√13

|U|=√((-7)^2+(-5)^2 )

|U|=√(49+25)

|U|=√74

Ahora se determina el Angulo

cos⁡θ=(U:V)/|U||V|

cos⁡θ=29/√(13.√74)

cos⁡θ=29/√962

θ=Cos^(-1)⁡(29/√62)

θ=20.77°

Dada la siguiente matriz, encuentre A1 empleando para ello el método de Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

.A=(■(-5&5&5@7&0&-8@1&2&-3))

A=(■(-5&5&5@7&0&-8@1&2&-3) ■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) ■(1⁄(5f1 →f1)@-7f1+f2 →f2@-f1+f3 →f3)

A= (■(1&-1&-1@0&7&-1@0&3&-2) ■((-1)⁄5&0&0@7⁄5&1&0@1⁄5&0&1)) ■( 1⁄(7f2 →f2)@ -3f2+f3 →f3)

A= (■(1&-1&-1@0&1&1⁄7@0&0&11⁄7) ■((-1)⁄5&0&0@1⁄5&1⁄7&0@(-2)⁄5&(-2)⁄2&1)) ■((-7)⁄(11f3→f3)@( 1)⁄(7f3+f2 →f2)@1f3+f1 →f1)

A= (■(1&-1&0@0&1&0@0&0&1) ■(3⁄55&3⁄11&(-7)⁄11@13⁄55&2⁄11&(-1)⁄11@14⁄55&3⁄11&(-7)⁄11)) f1+f2→f1

A=(■(1&0&0@0&1&0@0&0&1) ■(16⁄55&5⁄11&(-8)⁄11@13⁄55&2⁄11&(-1)⁄11@14⁄55&3⁄11&(-7)⁄11))

A^(-1)=(■(16⁄55&5⁄11&(-8)⁄11@13⁄55&2⁄11&(-1)⁄11@14⁄55&3⁄11&(-7)⁄11))

4. Emplee una herramienta computacional adecuada (por ejemplo, MAPLE, o

Cualquier software libre) para verificar el resultado del numeral anterior.

5. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

B= ((■( 1&0&9@-1&2&3@-1& 0&-1) ■( 2&1@ -2&1@ 2&1))¦(■( 0&0& 0@ 0&7& 0) ■(2&-2@1&1)))

B= ((■(1&0&9@-1&2&3@-1&0&-1) ■(2&1@-2&1@2&1))¦(■(0&0&0@0&7&0) ■( 2&-2@1&1))) ■( f1+f2 →f2@ f1+f3 →f3)

B=((■(1&0&9@0&2&12@0&0&8) ■(2&1@0&2@4&2))¦(■(0&0&0@0&7&0) ■(2&-2@1&1))) ( -7)⁄(2 f2+f5 →f5)

B=((■(1&0&9@0&2&12@0&0&8) ■(2&1@0&2@4&2))¦(■(0&0&0@0&0&-42) ■(2&-2@1&-6))) 21⁄(4 f3+f 5 →f5)

B=((■( 1&0 & 9@ 0& 2& 12@ 0& 0& 8) ■( 2& 1@ 0& 2@ 4& 2))¦(■( 0& 0& 0@ 0& 0&-22 ) ■(2&-2@0&9⁄2))) -11f4+f5→f5

B=((■( 1&0 & 9@ 0& 2&12@ 0& 0& 8) ■( 2& 1@ 0& 2@ 4& 2))¦(■( 0& 0& 0@ 0& 0& 0) ■( 2&-2@ 0&53⁄2))) Luego

Det (B)= (1) (2) (8) (2) (53⁄2)=848

6. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello

Determinantes (Recuerde: (recuerde: a^(-1)=1/DetA*adjA )

Nota: Describa el proceso paso por paso

A= (■(-1&1&-1@0&2&0@3&1&-5))

Primero encortaremos el Det(A)

Det(A)=|■(2&0@1&-5)|-1 |■(0&0@3&-5)|-1|■(0&2@3&1)|

= -1(-10)-1(0)-1(-6)

=10+6=16

Ahora hallaremos la Adjunta de A

[-■(|■(2&0@1&-5)|-&|■(0&0@3&-3)|&|■(0&2@3&1)|@|■(1&-1@1&-5)| &|■(-1&-1@3&-5)|-&|■(-1&1@3&1)|@|■(1&-1@2&0)|- &|■(-1&1@0&0)|&|■(-1&1@0&2)| )]

[■(-20&0&-6@4&8&4@2&0&-2)]=

...