Muestrras No Ordenadas

Muestras no ordenadas

1.3.1. Muestras no ordenadas y sin repetici´on

Para estudiar este caso, es conveniente fijarse en un ejemplo.

Supongamos que tenemos una bolsa con 5 bolas numeradas del 1 al 5. Sacamos dos bolas, sin

importarnos el orden y sin repetir, ¿cu´antos posibles resultados hay?.

Examinemos las posibilidades. Si el orden fuese importante ya sabemos que tendr´ıamos 5·4 = 20

posibilidades (V

2

5 = 5 · 4) que ser´ıan:

1, 2 1, 3 1, 4 1, 5

2, 1 2, 3 2, 4 2, 5

3, 1 3, 2 3, 4 3, 5

4, 1 4, 2 4, 3 4, 5

5, 1 5, 2 5, 3 5, 4

Ahora bien, como no nos importa el orden, para nosotros las parejas 2,1 y 1,2 que son 2, en realidad

s´olo deber´ıan contar como una, y lo mismo ocurre con el resto de parejas.

Estamos contando cada pareja 2 veces. Por tanto, para obtener el n´umero de parejas que buscamos

tenemos que dividir entre 2. As´ı resulta que el n´umero de muestras no ordenadas y sin repetici´on que

tenemos es de:

20

2

= 10 , s´olo 10 posibilidades que son:

{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}

donde las llaves indican que el orden no importa.

Si sac´asemos 3 bolas en lugar de 2, tendr´ıamos los tr´ıos: 1,2,3 1,2,4 1,2,5 etc. . . en total 5·4·3 =

60 posibilidades (V

3

5 = 5 · 4 · 3).

Razonando de igual manera al caso anterior, todos aquellos tr´ıos en los que estuviesen por ejemplo,

el 1, el 2 y el 3 estar´ıan repetidos. Ahora bien, ¿cu´antas veces se repite cada tr´ıo?. Veamos, tomando

como ejemplo los tr´ıos con 1,2 y 3 obtenemos: 1,2,3 1,3,2 2,1,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 6 posibilidades

(P3 = 3!) que en realidad representan lo mismo pues no nos importa el orden. Lo mismo ocurre con

cada tr´ıo, de modo que cada uno de ellos se repite 6 veces, as´ı pu´es si no tenemos en cuenta el orden,

el n´umero de muestras no son 60 sino:

60

6

= 10 maneras (no ordenadas y sin repetici´on).

Ejercicio: Escribir los 10 tr´ıos del ejemplo anterior.

Formalizando lo anterior, si la poblaci´on es de tama˜no n y se extraen muestras de tama˜no k, si

fuesen ordenadas ser´ıan

V

k

n = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)

pero como son no ordenadas tenemos que dividir por el n´umero de maneras de ordenar esas muestras

de tama˜no k, es decir hay que dividir por

Pk = k!

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