Musica

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Estarán de acuerdo conmigo en que no hace falta saber matemáticas para disfrutar de la música. De hecho, a simple vista parecen ser dos temas totalmente desligados... pero en realidad muy pocas cosas están desligadas de la matemática.

¿Saben ustedes porqué las notas son siete? No parece un número muy adecuado; al fin y al cabo es primo, y no tiene divisores; parecería que ocho es más “adecuado”.

En realidad las siete notas DO, RE MI FA SOL LA SI (escala diatónica) se convierten en doce si intercalamos notas intermedias, obteniendo doce, que constituyen la llamada escala cromática: Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, y Si. El símbolo # se llama sostenido, e indica un tono (una frecuencia) intermedio entre la nota que lo nombra y las siguiente. En solfeo se aprende que además existen los bemoles (b), que disminuyen el tono en lugar de aumentarlo, de forma que Re# = Mib y La#=Sib, por poner dos ejemplos.

No se trata de una arbitrariedad, ni mucho menos. Existe una base clara que apoya tal “dodecafonismo”. El propósito de este post es intentar explicarlo.

Dos sonidos puros simultáneos pueden dar una sensación agradable (consonante) o no tan agradable (disonante). El asunto depende de la relación entre sus frecuencias. La consonancia perfecta, y obvia, si produce cuando ambos tonos tienen la misma frecuencia (unísono). Para el resto de los casos, el resultado será más consonante cuando al relación de frecuencias sea un número racional de denominador pequeño. En el fondo todo el misterio es la suma de funciones senoidales: si una frecuencia es 2/3 de otra, la suma “encaja” mucho mejor que si es 465/422...

Es obvio que después del unísono, la mejor consonancia es cuando una frecuencia es el doble de la otra. La sensación percibida es que son ambas la misma nota, pero una más aguda que la otra. Por ello, ambas reciben el mismo nombre (se dice por motivos que veremos que están a una octava de distancia).

¿Cómo dividimos las “distancia entre dos notas del mismo nombre, de frecuencias f y 2f? Pues lo más racional parece seguir con fracciones sencillas. Si tomamos una frecuencia 3f/2, obtenemos una nueva nota, de composición sumamente agradable con f y con 2f.

El siguiente paso parece natural: tomar una frecuencia que sea 3/2 de la última; osea 9/4 de la frecuencia base. El problema es que esta fracción es mayor que dos, por lo que nos habremos salido por encima de 2f. Lo corregimos con bajarla una octava ( dividir la frecuencia por dos), que como hemos dicho da la misma sensación de nota musical, si bien más grave), y tenemos 9/8.

Repitiendo el proceso, tenemos:

• f

• 3/2•f

• 9/8 •f.(Después de haber descendido una octava).

• 3/2•9/8 •f=27/16•f

• 3/2•27/16 •f=81/32•f. (Como la frecuencia es más grande que 2f, descendemos una octava y obtenemos 81/64•f)

• 3/2•81/64 •f=243/128•f

Si ordenamos de menor a mayor

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