Numeros Complejos

Números complejos

1. Introducción

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el

método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así,

el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como

x + 5 = 0,

y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma

5x = 1.

El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más

topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como

x2 − 2 = 0.

El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las

soluciones de ecuaciones como

x2 + 1 = 0,

es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichas

raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar a

un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento

de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción

de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno

derecho” de las familias numéricas.

2. Definición

La manera más sencilla de trabajar con los números complejos es dar un nombre

que esta cantidad “se portará bien”, ya podemos realizar cálculos como

√

−25 = (−1)(25) = √

√

−1 25 = 5i.

Necesitaríamos poder sumar y multiplicar estos nuevos números. Está claro que si

b, c ∈ R, se debiera tener

bi + ci = (b + c)i.

Por otro lado, para a, b ∈ R no podremos simplificar la expresión a + bi.

Veamos el producto. En primer lugar está claro que si hemos definido i como √ −1,

entonces

i2 = −1.

Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivo

respecto de la suma, se deberá tener

(a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac − bd + (ad + bc)i.

Con esto ya sabríamos sumar y multiplicar complejos.

1

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3. Formalización

Como siempre en matemáticas, estas ideas intuitivas se pueden (y se deben) formalizar.

Una de las formalizaciones más habituales es pensar en los complejos como pares (a, b) ∈

R × R con una suma y un producto definidos por

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Es un ejercicio sencillo comprobar que la suma es conmutativa, asociativa, que existe

un elemento neutro (el (0, 0)) y que todo elemento tiene simétrico. Igualmente fácil es

comprobar que el producto es conmutativo, asociativo, que existe un elemento neutro (el

(1, 0)) y que todo elemento distinto de (0, 0) tiene inverso. También es fácil comprobar

que el producto es distributivo respecto de la suma. Decimos entonces que los números

complejos tienen estructura de cuerpo conmutativo, noción que ya conoceréis más adelante.

Es obvio que esta formalización (cuya notación apenas utilizaremos) coincide con la

noción intuitiva descrita en la sección anterior, sin más que identificar

(a, b) ≡ a + bi.

A cualquiera de estas dos notaciones se las conoce como forma binómica del número

complejo.

Llamaremos C al conjunto de los números complejos con la suma y producto definidos.

Es muy fácil darse cuenta de que podemos identificar de manera natural un elemento

a de R con el complejo a + 0i = (a, 0). De esta forma podemos considerar R como un

subconjunto de C.

Análogamente, tendríamos un conjunto destacado de números complejos formado por

aquellos de la forma bi = 0 + bi = (0, b). A estos números se les denomina a menudo

imaginarios puros.

Dado un complejo z = a + bi nos referiremos a a como su parte real y a b como su

parte imaginaria

a = ℜz,

b = ℑz.

4. Interpretación geométrica

Puesto que podemos ver un número complejo como un par (a, b) ∈ R × R, es natural

interpretarlo como un punto del plano. Llamaremos plano complejo al plano R × R cuando

pensamos en él como formado por números complejos. Es claro que en el plano podemos

identificar el eje de abscisas con la recta de los números reales, y el eje de ordenadas con

la recta formada por los números imaginarios puros.

6. FORMA MÓDULO-ARGUMENTAL 3

−2 + 3i

3i

2i

i

3 + 2i

−3

−3 − 2i

−2

−1

−i

−2i

−3i

0

1 2 3

2 − 3i

5. Conjugación

Una noción muy importante al usar números complejos y que es propia de éstos es la

noción de conjugación.

Definición 5.1. Dado un complejo z = a + bi definimos su conjugado z como

z = a − bi.

Observamos que si z = a + 0i es real, z = z. Para todo z ∈ C

z = z y zz = a2 + b2.

6. Forma módulo-argumental

Si pensamos en un complejo z = a + bi como un punto del plano, podemos referirnos a

él de varias formas. La primera, con la propia notación binomial. Otra forma de describir

ese punto del plano sería decir a qué distancia está el punto del origen y qué ángulo forma

el segmento que une 0 con z con la parte positiva del eje de abscisas. Llamaremos módulo

de z a la longitud del segmento que une 0 con z, y lo denotaremos como |z| (una cantidad

estrictamente positiva, salvo en el caso de z = 0, que es nula). Utilizando el Teorema de

Pitágoras se tiene

|z| = √

a2 + b2 = √

zz.

b

z = a + bi

|z|

0

Arg(z)

a

4

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