Ortogonalidad

Capítulo 3: Ortogonalidad

En esta sección generalizaremos la noción conocida de perpendicularidad en  y algunas propiedades que se basan en esta noción, a espacios vectoriales con producto interno arbitrarios.[pic 1]

1.- Conjuntos ortogonales y ortonormales

Definición 1.1 Sea  un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores  se dicen ortogonales (o perpendiculares) si .[pic 2][pic 3][pic 4]

Observación 1.2 (Teorema de Pitágoras) Si  son vectores ortogonales, entonces [pic 5][pic 6]

Definición 1.3 Sea  un espacio vectorial con producto interno. Se dice que[pic 7]

  es un conjunto ortogonal si . El conjunto se dice ortonormal si es ortogonal y  para cada .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

 Ejemplos.

1. En  (o ) con el producto interno canónico, la base canónica es un conjunto ortonormal:[pic 12][pic 13]

•  si [pic 14][pic 15]
•  para cada .[pic 16][pic 17]

1. En  con el producto interno canónico, el conjunto  es un conjunto ortogonal, pues .[pic 18][pic 19][pic 20]

Este conjunto no es ortonormal, ya que  y . A partir de este conjunto podemos hallar uno que es ortonormal dividiendo cada uno de los vectores por su norma: .[pic 21][pic 22][pic 23]

Si  es un espacio vectorial con producto interno, la matriz de  en una base ortogonal (u ortonormal) de V es particularmente simple:[pic 24][pic 25]

Observación 1.4 Si  es un espacio vectorial de dimensión n con producto interno, entonces  es una base de V ortogonal para  si y solo si[pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

En particular, B es una base ortonormal de V si y solo si .[pic 30]

Como consecuencia, si  es una base ortonormal de V se puede calcular fácilmente el producto interno entre dos vectores (y, en particular, la norma de un vector) a partir de sus coordenadas en la base  , entonces: [pic 31][pic 32]

[pic 33]

Proposición 1.5 Sea  un espacio vectorial con producto interno. Sea un conjunto ortogonal de V con  para cada . Entonces  es linealmente independiente.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

Demostración. Supongamos que . Entonces para cada ,[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Y como , resulta que [pic 42][pic 43]

En consecuencia,  es linealmente independiente. [pic 44]

Si se tiene una base ortogonal de un subespacio, las coordenadas en esta base de cualquier vector del subespacio pueden encontrarse fácilmente usando el producto interno:

Proposición 1.6 Sea  un espacio vectorial con producto interno. Sea  ⊆ V un conjunto ortogonal tal que  para cada  y sea .[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Entonces

[pic 50]

Demostración. Si , para cara  se tiene que[pic 51][pic 52]

[pic 53]

De donde se deduce, teniendo en cuenta que , que [pic 54][pic 55]

Corolario 1.7  Sea  un espacio vectorial con producto interno y sea  un conjunto ortonormal de V. Entonces, para cada  , se tiene que [pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59]

Finalmente, combinando este resultado con la Observación 1.4, se obtiene:

Corolario 1.8 Sea  un espacio vectorial con producto interno y sea  un conjunto ortonormal de V. Entonces:[pic 60][pic 61]

1. Para , [pic 62][pic 63]
2. Para cada , [pic 64][pic 65]

En lo que sigue, intentaremos encontrar bases ortonormales en un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno. Comenzaremos haciendo esto en un ejemplo.

Ejemplo.  Se considera en  el producto interno definido por[pic 66]

 [pic 67]

Hallar una base de  ortonormal para este producto interno.[pic 68]

Elegimos un vector en , por ejemplo. (1,0). Buscamos un vector ortogonal a éste para el producto interno dado, es decir, un vector  tal que[pic 69][pic 70]

[pic 71]

Por ejemplo, [pic 72]

Entonces  es una base ortogonal de  y, por lo tanto, basta normalizar(es decir, dividir por la norma) cada uno de los vectores de esta base. Se tiene que[pic 73][pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Luego,  es una base ortonormal de  para el producto interno dado.[pic 77][pic 78]

La proposición siguiente asegura que todo espacio vectorial de dimensión finita con producto interno tiene una base ortonormal. Más aún, su demostración da un procedimiento recursivo, conocido como el método de ortonormalización de Gram-Schmidt, que permite obtener una base ortonormal del espacio a partir de una base cualquiera del mismo.

Proposición 1.9 (Método de ortonormalización de Gram-Schmidt) Sea  un espacio vectorial con producto interno y sea  una base de V. Existe una base ortonormal  de V tal que [pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 82]

Demostración. Se construirá una base ortogonal  de V que cumpla: [pic 83]

[pic 84]

Normalizando los vectores de esta base se obtendrá la base ortonormal buscada.

Construiremos los vectores de la base recursivamente:

• Tomamos , que satisface [pic 85][pic 86]
• Buscamos  con  y tal que . Esta segunda condición vale si y solo si  con . Podemos suponer entonces que , es decir ,  y buscar  de manera que se cumpla la primera condición:[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

[pic 95]

Lo que implica que

[pic 96]

Luego, el vector

[pic 97]

Satisface las condiciones requeridas.

• Supongamos construidos  tal que[pic 98]

1.  si .[pic 99][pic 100]
2. .[pic 101]

Consideremos el vector

[pic 102]

Se tiene que:

1. ,[pic 103]
2. Para cada [pic 104]

[pic 105]

 [pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

Luego,  satisface las condiciones requeridas.[pic 109]

De esta manera, al concluir el n-ésimo paso se obtiene una base ortogonal  de V que además satisface  para cada .[pic 110][pic 111][pic 112]

...