Ortogonalidad en espacios vectoriales

Ortogonalidad en espacios vectoriales

Definición

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores x \in V e y \in V son ortogonales si el producto escalar de \langle x, y \rangle es cero. Esta situación se denota x \perp y . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

Ortogonalidad y perpendicularidad

En geometría euclídea se tiene, dos vectores X e Y ortogonales forman un ángulo recto, los vectores v_1=(3,4) y v_2=(4,-3) lo son ya que, \langle v_1, v_2 \rangle = v_1 \cdot v_2 = 3\times 4 + 4\times (-3) = 0. En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.

Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad)

Dados dos vectores u_1 y u_2 pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión n y una matriz A de dimensión n \times n, si el productor escalar \langle u_1 , Au_2 \rangle, notado \langle u_1 , u_2 \rangle_A, es igual a cero, se dice que u_1 y u_2 son ortogonales respecto a la matriz A o A-ortogonales. Un conjunto de n vectores \{u_i\}_{i=1}^n se dice que forma una base A-ortonormal si \langle u_i , u_j \rangle_A = \delta_{ij} para todo i,j=1,...,n.

Transformación ortogonal

En Geometría y Álgebra lineal, una transformación \varphi: E \longrightarrow E de un espacio prehilbertiano (E,\langle\cdot,\cdot\rangle) en sí mismo —donde \langle\cdot,\cdot\rangle representa el producto escalar en E— es ortogonal cuando \varphi es una aplicación lineal de E en sí mismo (un automorfismo) de forma que cualesquiera que sean los u,v \in E se cumple que \langle\varphi(u),\varphi(v)\rangle = \langle u,v\rangle.

En particular, el conjunto E puede ser un espacio euclídeo.

En caso de que E sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, se dirá que \varphi es transformación unitaria.

Ortogonalidad en otros contextos

El concepto de ortogonalidad puede extenderse a otros objetos geométricos diferente de los vectores. Por ejemplo dos curvas suaves se consideran ortogonales en un punto si sus respectivos vectores tangentes son ortogonales. Dos familias de curvas se llaman ortogonales si en el punto de intersección de una curva de la primera familia con una curva de la segunda familia ambas resultan ser ortogonales. Un ejemplo de esto es el de las líneas isostáticas de tracción y compresión en una viga, las cuales son las envolventes de las tensiones principales.

Sistemas de coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas sobre una variedad de Riemann o un espacio localmente euclídeo es ortogonal cuando las líneas coordenadas asociadas a los valores constantes de alguna de las coordenadas tienen vectores tangentes

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