Pensamiento Algebraico Temprano

Pensamiento algebraico temprano: El papel del entorno Logo

Early algebraic thinking: The role of the environment Logo

Cristianne Butto Zarzar* y Teresa Rojano Ceballos**

* Área Académica número 4 Tecnologías de la Información y Modelos Alternativos, Universidad Pedagógica Nacional-Ajusco, México. cristianne_butto@hotmail.com

** Departamento de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México. rojanot@gmail.com

Fecha de recepción: 26 de abril de 2010.

Resumen

Se informan resultados de un estudio sobre la introducción temprana en el pensamiento algebraico realizado con nueve estudiantes de 5° y 6° grados de primaria, de entre 10 y 11 años de edad, en el cual se contemplan dos rutas de acceso al álgebra: el razonamiento proporcional y los procesos de generalización. El marco teórico-metodológico utilizado se basa en la teoría de los modelos locales desarrollada por Filloy (1999) y Filloy, Rojano y Puig (2008). El trabajo experimental involucró actividades con lápiz y papel y con el programa Logo. Los resultados revelan que, al término del estudio, los alumnos participantes lograron comprender ideas básicas de variación proporcional, describir un patrón y formular una regla general, a medida que transitaban del pensamiento aditivo al multiplicativo.

Palabras clave: pensamiento algebraico temprano, procesos de generalización, educación primaria, ambiente de programación Logo.

Abstract

Results are reported of a study on early algebraic thinking performed with 9 students of 5th and 6th degree of elementary school, 10 to 11 years old. Two routes of access to algebra are explored: proportional reasoning and generalization processes. The methodological theoretical framework is based on the theory of local models developed by Filloy (1999) and Filloy, Rojano and Puig (2008). The experimental activities involved pencil and paper and the Logo environment. Results reveal that at the end of the study the participant pupils came to understand basic ideas of proportional reasoning describe a pattern and discover a general rule, as they transit from an additive to a multiplicative thinking.

Keywords: early algebraic thinking, generalization processes, elementary school, Logo environment.

INTRODUCCIÓN

En este artículo informamos resultados de un estudio sobre el papel del entorno Logo en el acceso temprano al pensamiento algebraico. Las investigaciones sobre esta temática han proliferado en los últimos años bajo el nombre genérico de early algebra studies.

La transición de la aritmética al álgebra es un paso crucial para llegar a ideas más complejas y abstractas dentro de las matemáticas escolares. Sin embargo, los resultados de la investigación en didáctica del álgebra registran que la mayoría de las dificultades que enfrentan los estudiantes al iniciarse en el estudio del álgebra se deben a que, por mucho tiempo, ésta ha sido vista como una mera extensión del cálculo numérico al cálculo literal. Lo anterior ha tenido como consecuencia una enseñanza del álgebra a partir de fuentes de significado muy limitadas: usualmente se toma como base el dominio numérico (simbolización numérica), dejando de lado ideas importantes que se interconectan con otros dominios matemáticos, como el geométrico.

Por otro lado, numerosos estudios han investigado y catalogado las dificultades y los errores que cometen los estudiantes al iniciarse en el estudio del álgebra elemental; autores como Booth (1984), Kieran (1980), Kieran y Filloy (1989), Mason et al. (1985), Filloy y Rojano (1985) y Ursini (1990b) señalan que los estudiantes suelen usar métodos aritméticos en lugar de métodos algebraicos para resolver problemas de enunciado y tienen dificultades para comprender y manejar conceptos propios del álgebra (incógnita, número general y variable), así como para comprender que las operaciones en álgebra pueden no llevar a un resultado numérico y que, a la larga, pueden quedar como operaciones suspendidas. Estos estudios evidenciaron, además, que un bagaje predominantemente aritmético puede resultar un obstáculo para el aprendizaje del álgebra (véase, por ejemplo, el estudio de Filloy y Rojano, 1985). En ese sentido, algunos autores afirman que, para el desarrollo del pensamiento algebraico, es imprescindible que los alumnos puedan pensar y percibir la simbología y las operaciones aritméticas de manera distinta a la que se cultiva tradicionalmente en la escuela primaria, para que, sobre ese nuevo modo de pensamiento aritmético, puedan construir las nociones básicas del álgebra.

Cabe mencionar que los enfoques más tradicionales empiezan por enseñar la sintaxis algebraica, destacando sus aspectos manipulativos y, al final, resuelven problemas aplicando dicho contenido sintáctico-algebraico. La principal crítica a este enfoque señala que, en él, se introduce al estudiante en un simbolismo desprovisto de significado y de sentido; se ignora que viene de trabajar con la aritmética, donde los símbolos se relacionan con diversas fuentes de significado y los contextos de los problemas determinan en buena medida la manera de resolverlos. A este respecto, los estudios de Filloy (1991 y 1993) y Filloy y Rojano (1991) sobre la transición de la aritmética al álgebra evidencian también problemas de traducción del lenguaje natural al álgebra y viceversa.

Todo lo señalado anteriormente en relación con las dificultades de acceso al pensamiento algebraico ha llevado a la conclusión de que los tiempos didácticos para el aprendizaje del álgebra son prolongados y que parece oportuno iniciarse en ese pensamiento a edades tempranas (7-11 años) aprovechando diferentes fuentes de significado presentes en los contenidos curriculares de la escuela primaria. Estudios sobre una iniciación temprana al álgebra, como: El sentido de las operaciones (Slavit, 1999); El tratamiento de las operaciones y las funciones (Carraher, Schliemann, y Brizuela, 2000, 2001); Generalización y formalización progresivas (Kaput y Blanton, 2000); El álgebra como una herramienta de representación y resolución de problemas (Da Rocha Falcão, 1993); La dialéctica entre la teoría y la práctica: un proyecto de iniciación temprana al álgebra; Álgebra en la escuela elemental (Schliemann, Carraher, Brizuela y Earnest, 2003); La reificación (Sfard y Linchesvski, 1994); El sentido de las operaciones (Slavit, 1999), y El tratamiento de las operaciones y las funciones (Carraher, Schliemann, y Brizuela, 2000), han identificado temas curriculares de la escuela elemental que pueden ser explotados para introducir en los alumnos de ese nivel escolar algunas ideas algebraicas importantes.

A su vez, los estudios sobre álgebra temprana tratan de dar explicaciones plausibles sobre las

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