Principios De Postulados

Terminología actual

En términos actuales, estos postulados podrían entenderse así: el primero y el tercero, al afirmar la posibilidad de trazar rectas y círculos, apuntan directamente a la estructura subyacente. Hoy en día, la estructura más natural que hace posibles los conceptos de distancia y curva con dirección constante es la de geometría riemanniana.

El cuarto postulado afirma que el grupo de las isometrías de la superficie actúa transitivamente en los puntos y los vectores de módulo 1; es decir, dado un vector e de módulo 1 en un punto p y otro vector v de módulo 1 en otro punto q, existe alguna isometría de la superficie que transforma p en q y e en v. Es posible demostrar que las únicas superficies riemannianas que satisfacen tal condición son el plano euclídeo, el plano hiperbólico, el plano proyectivo y la esfera.

Si exigimos que por dos puntos pase una única línea recta, excluimos la geometría esférica, porque por dos puntos diametralmente opuestos (el polo norte y el polo sur) pasan infinitos meridianos (que son las líneas en la esfera).

Si, con el segundo postulado, imponemos que las rectas tengan longitud infinita, eliminamos el plano proyectivo, porque todas sus rectas tienen longitud finita[cita requerida] (más aún, son compactas porque el plano proyectivo lo es). Sólo el plano euclídeo y el plano hiperbólico satisfacen los cuatro primeros postulados. Ahora el quinto postulado deja como única posibilidad el plano euclídeo, que es precisamente la estructura desentrañada por la geometría griega de euclides

Vemos así claramente que, cuando a principios del siglo XIX Gauss, Lobachevsky y János Bolyai consideraron la posibilidad de una geometría sin el quinto postulado, descubrieron necesariamente la Geometría hiperbólica. Ésta fue la primera geometría no euclídea en aparecer históricamente y Gauss consideró seriamente la posibilidad de que fuera la geometría del espacio en que vivimos[cita requerida], planteando así la cuestión de la estructura geométrica del Universo, que conduciría a la Teoría de la relatividad general de Einstein. Gauss incluso llegó a presentir[cita requerida] que la geometría hiperbólica era preferible, porque en ella hay unidades de longitud naturales.

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