Probabilidad

'Cupítulo 7

Coniuntos y probqbilidqd

EL CONCEPTO DE CONJUNTO

El concepto d,e conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadística y de la

matemática en general. Un conjunto puede considerarse como una colección de objetos, llamados

míembros o elernentos del conjunto. En general, mientras no se especifique lo contrario, denotamos

un conjunto por una letra mayúscula A, B, C, y un elemento por una leha minúsculao,b.

Sinónimos de conjunto son c/cse, grupo y colección.

_ Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a€ C. Sic noperteneceaC escribimos

a é C. Si o y b pertenecen aC escribimos a, b e C.Para que un conjunto seabiendefínido, como

siempre lo supondremos, debemos estar capacitados para determinar si un objeto específico pertenece

o no al conjunto.

Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si esto no es posible,

describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El

primero se denomina el método de extensión y el segundo el método de comprensión.

EJEMPLO 1,1. El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el método de extensión como { a, e, i, o,

uloporelmétododecomprensióncomo{rlreeunavocal}, léase"elconjuntodeloselementos¡talesque¡es

una vocal" donde la línea vertical I se lee "tal que" o "dado que".

EJEMPLO 1.2. El conjunto { ¡ | ¡ es un triángulo en un plano ) es el conjunto de los triángulos en un plano.

Obsérvese que el método de extensión no puede utilizarse aquí.

EJEMPLO 1.3. Si lanzamos un par de dados comunes los "números" o "puntos" posibles que pueden resultar sobre

la cara superior de cada dado son elementos del conjunto { 1, 2, 3, 4,5,6}.

SUBCONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un

subconjuntodeB,escritoAcB6B:Ayleído"AestácontenidoenB"o"BcontieneaA"

respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos A tenemos A C A.

Si Ac B y B CAllamamosa A y B iguales y escribimos A : B. En este caso AyB tienen

exactamente los mismos elementos.

Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos

A+ B.

SiA C B pero A + B llamamos aA un subconjunto propio de B.

EJEMPLO 1.4. I a, i, u ) es un subconjunto propio de {o, e, i, o, u}.

EJEMPLO 1.5. { 4 o, a, u, e } es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {o, e, i, o, u}, puesto que los dos

conjuntos son iguales. Obsérvese que la sola redistribución de los elementos no cambia el conjunto.

EJEMPLO 1.6. Al lanza¡ un dado los resultados posibles cuando el resultado es "par"

...