Probabilidad

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONDICIONAL

Cuando se estudia más de una variable aleatoria en forma conjunta, puede ser de interés conocer la distribución de probabilidad de cada variable aleatoria dado que la otra variable aleatoria toma un valor específico. Estas funciones se denominan distribuciones condicionales.

Recordemos la fórmula de probabilidad condicional para eventos

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

Definamos los eventos A, B de la siguiente manera

A: X=x

B:Y=y

Siendo X, Y variables aleatorias discretas con distribución de probabilidad conjunta f(x,y),

Entonces

P(X,x|Y,y) = (P(X=x,Y=y))/(P(Y=y))

Que se puede expresar con la notación establecida para las distribuciones conjuntas

f(x|y)= (f(x,y))/(h(y))

La función f(x|y) también satisface las propiedades de las funciones de probabilidad

Definiciones

Sean X, Y variables aleatorias discretas

f(x, y) distribución de probabilidad conjunta

Entonces.

f(x|y)=(f(x,y))/(h(y)) es la distribución condicional de X dado que Y=y

f(y|x)=(f(x,y))/(g(x)) es la distribución condicional de Y dado que X=x

Las distribuciones condicionales f(x|y), f(y|x) son funciones de probabilidad de X,Y. Estas funciones cumplen ls propiedades establecidas y pueden usarse para calcular la probabilidad condicional.

1.- f(x|y)≥ 0, xϵƦ, f(y|x) ≥ 0, yϵƦ

2.- ∑_x▒〖f(x│y)=1 〗 ∑_y▒〖f(y│x)=1〗

Ejemplo

Suponga que X,Y son variables aleatorias discretas cuya función de distribución de probabilidad esta descrita en el siguiente cuadro

X

Y

0 1 2 h(y)

1 0.1 0.2 0.05 0.35

2 0.3 0.1 0.25 0.65

g(x) 0.4 0.3 0.3 1

Calcule la probabilidad condicional P(X=2|Y=1)

P(X=2|Y=1)=F(2|1)=(f(2,1))/(h(1))=0.05/0.35=0.1429

EJEMPLO 2

Sean X,Y variables aleatorias con la siguiente función de probabilidad conjunta

F(x,y)=1/8 xy , x=1,2,3; y=1,2; cero para otro (x,y)

Encuentre las distribuciones marginales:

Previamente se obtuvieron las distribuciones marginales:

g(x)=x/6 , x=1,2,3

h(y)=y/3 , y=1,2

por lo tanto, para este problema:

f(x|y)=(f(x,y))/(h(y))=(1/8 xy)/(y/3)=x/6 significa que X no depende de Y

f(y|x)= (f(x,y))/(g(y))=(1/8 xy)/(x/6)=y/3 significa que Y no depende de X

Calcule la probabilidad condicional P(X=1|Y=2)

P(X=x|Y=y) = f(x|y) = x/6 P(X=1|Y=2) = f(1/2) = 1/6

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