Problema De Asignacion

Problema de asignación

El problema de asignación es una variación del problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1) en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda estan perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1).

Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es:

“La mejor persona para el trabajo”

El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos (maquinas o personas) para la realización de ciertos productos a costo mínimo.

Una definición más formal pudiera ser:

Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los asignados son recursos destinados a la realización de tareas, los asignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodos de tiempo. En estos problemas la oferta en cada origen es de valor 1 y la demanda en cada destino es también de valor 1.

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será designado a una y solo una tarea.

El problema de asignación presenta las siguientes características:

• El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema esta desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada.

• Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignamiento lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignamiento lineal.

Método Húngaro

El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros.

Algoritmo húngaro, paso 1

Antes que nada cabe recordar que el método húngaro trabaja en una matriz de costos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el número de filas es igual al número de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeño en cada fila de la matriz.

Algoritmo húngaro, paso 2

Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valor mínimo hallado en el primer paso).

Algoritmo húngaro, paso 3

Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cada columna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada "Matriz de Costos Reducidos".

Algoritmo húngaro, paso 4

A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas (únicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si el número de líneas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la solución óptima (la mejor asignación según el contexto de optimización), si el número de líneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con el paso 5.

Algoritmo húngaro, paso 5

Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las líneas del paso 4, ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones de las líneas horizontales y verticales,

...